Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
постоянные значения, причем и0 (+°°) = 0; в то время как k(z)f}(z)
монотонно возрастает от значения к(-'30) |3(-°°) < - if < 0 до fc(+°°)
(3(+°°) = = fc(+°°), причем j3' (z) ?=0. Тогда звуковая волна имеет
единственный горизонт z =гс,где (3(zc) = 0, и два горизонта поворота z, и
z2, причем z 1 < zc < z 2. Волна будет неоднородной в области z, < z < z2
ираспростра-няющейсяприг >z2 иг < z,. Волновое уравнение запишем в форме
(1.41):
Ф"+и202 -?2 +(р/32)''/(2р02)-3[(р|32)7(2р|32)]2}^ = о, Ф=Ф(г)/(|Зр1/2).
( ' 4)
Отметим, что, поскольку f v0 (zc)/w = 1, производные bl&jbzl в точке z =
zc, как и аналогичные производные от с, р и v0, по порядку величины
составляют L~l. Из равенств &0|г = г = + (• следует lzIi2-zcl =
= 0{%Ljk). В области I z - zс \ L функции c(z), p(z) и v0 (z) можно
заменить степенными разложениями, тогда уравнение (9.54) примет вид
Ф" + [*202 -%2 -2(z-zcr2 -kKz-z,)-1 +0(L-2)] Ф = 0,
к = г1 Wits' +Р'/Р)г=гс.
Поведение коэффициента уравнения при z ->zc подчиняется следующему
правилу [66], полученному из решения задачи с учетом вязкости жидкости:
zc следует заменить комплексной величиной zc - ib sgn (3' (zc), где 6 ->•
+0. В дальнейшем будем предполагать, что %L> 1. (Физический смысл этого
условия заключается в том, что на горизонте zс число Маха течения М =
v0(zс) /c(zс) мало по сравнению с kL > 1. При этом допускается как случай
М ~ 1, так и М > 1.) Тогда в коэффициенте при Ф членами 0(L ~2) можно
пренебречь по сравнению с if2. Параметр к - (%L) _I < 1 представляет
собой отношение характерных вертикальных масштабов изменения звукового
ноля и среды в окрестности z =zc. Относительное значение слагаемого k?(z
- zс) _1 в коэффициенте уравнения (9.55) мало при всехг. Однако
пренебрегать этим слагаемым нельзя. Как будет видно из дальнейшего, его
наличие существенно сказывается на решениях уравнения и приводит к важным
физическим следствиям.
Поскольку эталонное уравнение, допускающее точное решение в изученных
специальных функциях и содержащее весь набор особенностей волнового
уравнения (9.54), нам неизвестно, то нет возможности построить
равномерную высокочастотную асимптотику звукового поля. Будем описывать
его набором локальных асимптотик. Их структура зависит от значения
параметров oij 2:
a^2i^-l{-\y+l4>{zhzc), / = 1,2, (9.56)
U
где y(u,v) = / (k2\З2 -%2)1l2dz - фазовый интеграл. Параметрыау поло-
U
жительны и по порядку величины равны if2Цк.
189
Рассмотрим сначала случай а, 2 ^ 1. Можно показать (см. п. 8.1), что в
этом случае звуковое поле описывается формулами приближения ВКБ везде,
кроме узких окрестностей горизонтов z =zc,z = z, 2- В области | z - zc |
< | z, - zc I в качестве эталонного возьмем уравнение Уиттеке-
ра (3.12) и сделаем замену переменных r?(z) =- 2i*p(z,zc). Отметим, что
r?(z) ^2%(z - zc). Согласно (3.9), (3.12) функция
/(z) = (/T?72)-1/2[B1lV,,w(T?(z))+B2lV_,>m(-T?(z))], Bi,2= const, (9.57)
где Wit m - функции Уиттекера, является точным решением уравнения
Если т = 3/2 и / = - к /2, то, как легко убедиться, невязка коэффициентов
уравнений (9.55) и (9.58) равна 0(L~2 + ?2а~2) и ею можно пренебречь по
сравнению с ?2. Следовательно, в рассматриваемой области решение (9.57)
является главным членом асимптотического разложения 'l'(z) по параметру
%L> 1.
При | т\ | > 1 .функции Уиттекера можно заменить их асимптотиками. В
точке т? = 0 функции Wl m (± ц) имеют логарифмическую особенность.
Поэтому коэффициенты асимптотики (они найдены в [385]) зависят от arg 17.
В рассматриваемой задаче в силу сказанного выше о смещении zc с
вещественной оси z значение arg 17 изменяется от 0 при z >zc до л при z <
zc. Учитывая это, на основе результатов [385], получаем из (9.57)
Мы вндим, что в области < | z ~zc | < I zIj2 -zc I звуковое поле имеет
тот же вид, что дает приближение ВКБ. Физический смысл зависимости
результата от направления обхода точки zc мы поясним ниже.
При I z - zc | ^ | z j 2 ~ zc I слагаемые (z-zc)"2 и k?(z-zc)-1 в
коэффициенте в волновом уравнении допускают оценку ?20(а~2) и поэтому нми
можно пренебречь. Следовательно, в окрестностях горизонтов поворота
звуковое поле описывается обычными асимптотиками, содержащими функции
Эйри (см. п. 9.2), которые при I z - zI 2 | > (Lko2)*/3 переходят в
решения, полученные в приближении ВКБ:
/" ¦{(fc2/?2 -s2)(i
4/ 1 -
+ -
(9.58)
К'
e-,V(z,zc)) z>Zc;
(9.59)
(9.60)
Здесь функция /(z) выписана с точностью до множителя 1 + 0(к 2 + I ц |
_1).
Нк2$2 _|2)-1/4[(r)1е^г'г-> + (r)2 *1 >], z <zb- (9.61)
f(z\ =
1(А:202 -?2Г 1/4[(r)з е'*<г'г'> + S4e-'**'*">], z>z2. (9.62)
190
Связь коэффициентов ВКБ-решений (9.59) и (9.62), (9.60) и (9.61) выше и
ниже горизонта поворота дается формулами (9.30). Учитывая, что V?(z,zc) =
tp(z,zl) -in аг/2 =4?(z,z2) + in а2 /2, получаем
Как было показано выше, принцип причинности требует обращения в нуль
коэффициента 3)2. Учитывая это, для коэффициентов отражения и
прозрачности после простых выкладок можно получить соответственно
