Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
разные масштабы по оси ординат. Так, I К|^ах= 1,47приЛ/=50, аеслиЛ/ = 2,
то | V\*- 1 < 10"79 при любых (вещественных) углах падения волны.
197
Реально вследствие объемного поглощения звука, описываемого
комплексностью волнового числа к при М-1 < 1 никакого усиления звука не
будет.
Ранее в литературе усиление звука при отражении от сверхзвукового потока,
помимо случая дискретно-слоистых сред, о котором шла речь в п. 2.6,
рассматривалось для течения с тонким по сравнению с длиной волны
переходным слоем [251] или с профилем v0(z), близким к линейному [144]. В
последнем случае резонансное взаимодействие не принималось во внимание.
Глубокий анализ усиления звука в однородной среде с течением постоянного
направления был проведен в работе [77] в предположении, что между
горизонтами поворота и резонансного взаимодействия есть область
применимости приближения ВКБ, т.е. "Н а > 1 в наших обозначениях.
§ 10. Отражение звука от среды с произвольным законом изменения
параметров
Как видно из § 3, точные решения задачи об отражении плоской волны от
слоистой среды существуют лишь для небольшого числа случаев. Хотя
исследование этих случаев имеет весьма большое значение и раскрывает ряд
важных закономерностей, это не снимает вопроса об исследовании отражения
звука от слоев, в которых зависимость параметров среды от координаты z
может быть произвольной.
Существенно также, что в реальных геофизических ситуациях параметры среды
не остаются постоянными, а испытывают с течением времени как
систематические изменения, так и изменения флуктуационного характера.
Необходимо знать, какое влияние оказывают эти изменения на коэффициент
отражения. Как было показано в п. 6.3, даже небольшие вариации параметров
среды могут существенно сказываться на коэффициенте отражения.
Ряд результатов для слоисто-неоднородной среды общего вида был получен в
работах [83, 109, 119, 120, 220, 294, 348, 367, 381, 392, 397, 427, 474,
481, 528, 540, 541] и др. Изложение в этом параграфе базируется на
работах авторов [44,45,94,374].
Пусть плотность среды, скорости звука и течения в ней даются функциями
p(z), c{z) и v0(z). Предполагается, что при z -> + °о и - параметры среды
стремятся к постоянным значениям, равным соответственно р 1, сь v0i
ир2,С2,у02- Будем считать, что в среде нет точек резонансного
взаимодействия с потоком. Всюду одинаковый фактор ехр[г'(?г --cof)] в
выражении для поля мы для краткости будем опускать.
10.1. Уравнения для коэффициента отражения и импеданса звуковой волны
[44, 45, 94]. Пусть при z = + °° задана плоская волна, распространяющаяся
в сторону отрицательных г (падающая волна). В общем случае волновое
уравнение (1.45) может быть удовлетворено только при допущении, что при z
= +существует также отраженная волна. Нашей задачей будет отыскание
отношения комплексных амплитуд отраженной и падающей волн, т.е.
коэффициента отражения V по модулю и фазе. При этом мы не пойдем по
обычному пути, предполагающему поиск решений волнового уравнения и
вычисление по ним коэффициента отражения. Вместо этого
198
мы получим уравнение, которому удовлетворяет сама искомая величина V как
функция вертикальной координаты. Зависимость коэффициента отражения от ?
будет входить параметрически.
Волновое уравнение для звукового ноля в неоднородной движущейся среде
возьмем в виде (8.1) -(8.3). Вертикальные зависимости акустического
давления Фи г-компоненты смещения частиц в волне / связаны равенствами
(8.35). Для удовлетворения (8.35) введем формально понятие о ''падающей"
(г) и ''отраженной" (г) волнах при любом г, определив их следующим
образом:
ф(0 = <Mr). /(0--/МГФ1(Г), Ф(Г)=Ф2(Г), /(г) = /лоа^ф2(ИД10.1)
где Ф( 2 - две новые неизвестные функции. Заметим, что связь между Фи / в
каждой из волн такая же, как в приближении лучевой теории, когда падающая
и отраженная волны распространяются, не взаимодействуя друг с другом (ср.
(10.1) с (8.36) при условии (8.39))-
Определим коэффициент отражения для произвольного горизонта равенством V
= Ф2(П/Ф1(И- Несмотря на условность этого определения,
мы пока не будем вводить какие-либо приближения. Подставив в
(8.35)
сумму падающей и отраженной волн (10.1): / = ik0N<i>i(V - 1), Ф = = Фх (1
+ F), получим уравнения
э э
ЛоЛГФ, (V - 1) = -¦ [ Ф, (1 + У)], - [ЛГФ, (V - 1)] = /*0^(1 + V)
Ф,.
(10.2)
Домножая первое уравнение на (К-1)/Ф, второе на (V + 1 )/Фх и складывая
результаты, приходим к уравнению Риккати для коэффициента отражения:
Э V ,1 9(lnW)
- = 2ik0N V + 7(1 - V ), у= - . (10.3)
ЭГ о /V / ,
Если в качестве вертикальной координаты взять г, уравнение (10.3) при
учете (8.2), (8.3) принимает вид
Э V / |2 \1/2
- = 2.*о(м202 - - ) К + 7,(1-К2),
Эг V к о /
1 Э п202-?2/^
71 = 1п -------------------. (10.4)
4 Эг p2f '
В качестве граничного условия для решения уравнений (10.3) или (10.4),
можно взять условие
lim V = 0, (10.5)
Z- - оо
поскольку при г -* (позади неоднородного слоя) отраженная волна
