Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
отсутствует. В качестве граничного условия можно использовать также
задание V на некотором горизонте. Tik. если при г <zx среда однородна, то
Е(г,) = 0; если при г = расположена абсолютно жесткая или абсолютно
мягкая граница, то F(Zj) = ± 1.
199
Можно получить уравнение Риккати также для импеданса. Определение
импеданса звуковой волны в движущей среде было дано в п. 2.6:
/Эру1 /эф\->
Z = -/cjp0pf - J =-iojp^^-J . (10.6)
Дифференцируя (10.6) по f, получаем 3Z Г Э2Ф
= -/СОРо I 1 - Ф г
af I 3f
что при учете (8.1) дает искомое дифференциальное уравнение:
Э Z
(c)1-
- =iwp0 О S
(ко V CJ
WPo/
(Ю.7)
Когда импеданс рассматривается как функция координаты z, уравнение (10-7)
принимает вид
3Z
- = /сор/3 3 z
Ш'<¦">
Если при z<zx среда однородна, граничное условие для Z состоит в
равенстве Z(zj) импедансу плоской волны, распространяющейся в сторону
отрицательных г. Не составляет труда задать граничные условия для Z и в
других случаях.
При помощи (10.6) можно выразить Ф через Z:
Ф(?) = ехр [-icopo j" Z-1(fj)rffi ] , (10.9)
где произвольная величина определяет нормировку Ф. Таким образом, если
импеданс Z(f) найден, то звуковое давление во всей среде может быть
вычислено при помощи квадратуры. Пересчет импеданса Z(f) в коэффициент
отражения производится по формуле
K(f)= [Z(f)- сор0/(МО] [2(f) + ыро/(*оЛ0Г', (Ю.Ю)
вытекающей из определений Z и К.
Мы видим, что линейное дифференциальное уравнение второго порядка (8.1) и
нелинейные уравнения первого порядка (10.4) и (10.7) эквивалентны: зная
решение одного из них, можно построить решения двух других. В ряде задач
именно уравнение Риккати оказывается наиболее удобным средством
построения приближенных аналитических и численных решений. В качестве
примеров использования последнего в численных расчетах звуковых полей в
жидкости можно указать работы [362, 446]. Матричный аналог уравнения
(10.8) применяется при расчетах полей упругих волн в твердых телах с
кусочно-непрерывной стратификацией параметров [154, 249]. Далеко идущим
обобщением изложенного выше перехода от (8.1) к уравнению Риккати
является метод погружения, сводящий решение краевых задай для волнового
уравнения к интегрированию нелинейных дифференциальных уравнений первого
порядка. Особенно эффективным этот метод оказался при исследовании
статистических задач [133, 142]. 200
Вернемся к уравнениям (10.3), (10.4) для коэффициента отражения V. Под
V(z) мы понимаем отношение комплексных, т.е. включающих фазу, амплитуд
прямой и обратной волн. Так, например, если бы при некотором z = z0 в
однородной среде была расположена абсолютно отражающая плоскость, для
которой V= 1, то при нормальном падении наш коэффициент отражения был бы
равен V(z) = exp [2ik0ti(z - z0)]. Это выражение сразу получается при
интегрировании (10.4) при 7i = 0 и граничном условии V(z0)= 1. Нетрудно
видеть, что если точку, для которой определяется коэффициент отражения от
неоднородного слоя, перенести из z = z, в z = = z2 причем как z,, так и
z2 лежат вне области, где имеет место заметное отражение, то справедливо
следующее соотношение между значениями V в этих точках:
Согласно уравнению (10.3), производная Э K/3J ограничена, если параметры
среды не испытывают скачков. Пусть N ~ Nt при z > z0 и N = N2 Ф
Ф при z < z0. Разделим обе части (10.3) на 1-V2 и проинтегрируем по f:
Заметим, что при V Ф 1 подынтегральное выражение в первом слагаемом в
правой части ограничено. Устремляя е к нулю, получаем тогда связь
значений коэффициента отражения выше (К+) и ниже (К ) горизонта скачка:
В частности, если при z < z0 среда однородна (V._ = 0), то для V
получается френелевское выражение V+= (/V\ - N2)(Ni +Af2)-1- Пользуясь
формулами (8.2), (8.3) и (2.82), нетрудно убедиться, что V+ совпадает с
найденным в п. 2.6 коэффициентом отражения (2.88) плоской волны от
границы однородных движущихся полупространств.
Заметим, что волновое уравнение (8.1), из которого мы исходим, определяет
только полное значение звукового поля. Разбиение же последнего на сумму
падающей и отраженной волн, как это сделано выше, сопряжено с некоторой
степенью произвола. Исключением являются лишь случаи однородной среды или
среды с медленно меняющимися свойствами, когда речь идет о главных членах
высокочастотного асимптотического разложения поля. Только тогда звуковое
поле однозначно можно разложить на волны, распространяющиеся в ту и
другую стороны.
В неоднородной среде бегущей волной часто называют выражение вида A
(z)exp(iip(z)), где А - амплитуда волны, а у - ее фаза. Однако это
выражение, если только A(z) не является постоянной или медленно
меняющейся функцией, может с таким же успехом представлять собой и
стоячую волну. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующий пример,
указанный Щелкуновым [501] .
Пусть мы имеем функцию
Ф(г) = cosbz + eexp(ibz). (10.13)
V(zг) = F(z,)exp[2i&0 / (п2Р2 - %2/ко)1/2 dz].
(10.11)
Z
(^+ + l)/(^+-I) = yV1(HL +1)/W2(H -1).
(10.12)
