Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействия происходило бы полное отражение (| V\ =1), поскольку при z
<z2 волна неоднородна. Звуковое поле можно найти из полученных выше (для
случая двух точек поворота) асимптотик с помощью предельного перехода <*i
В частности, для коэффициента от-
ражения из (9.64) находим
I V |2 = 1 + тгк ехр(-па2). (9.82)
*) Поскольку течение стационарно, резонанс происходит при нулевой (в
системе отсчета, связанной с жидкими частицами) частоте звука.
**) Бесконечно малая вязкость для монохроматических воли может приводить
к эффектам конечной величины потому, что с уменьшением вязкости растет
время установления колебаний.
13* 195
Практический интерес представляет задача об отражении от струи конечной
толщины (н0 ^0 npj I z | ->°°). Будем предполагать, что функция u(z)
_имеет единственны! максимум w(zm) = ит, причем произведение &(z)/3(z)
возрастает приг >zm и убьтает при z <zm. Если /3(zm) >0, то поле можно
найти, воспользовавшись результатами предыдущих разделов. Пусть - ? < к
(zm)((zm) < 0. Тогда звуковая волна будет иметь два горизонта резонансною
взаимодействия zcl>2 и два горизонта поворо-та 21,2 (рис. 9.3,а).
Ограничимся простейшим случаем, когда
1 ?> (21,2C1) I > 1, I y>(z,b 2с2) I > 1, I y>(zC2,22) I > 1, где фазовый
интеграл р определен в '9.56). При этом в окрестностях особых точек
2 =zi,2 можно пользоваться локальными асимптотиками типа (9.26), в
окрестностях z =zc 1>2 - типа (9.57), а во всем остальном пространстве
пригодно приближение ВКБ. Требуя, чтобы при z <zt не было волны, бегущей
из z = -°°,и пощедовательно пересчитывая коэффициенты ВКБ-асимптотик
снизу вверх по формулам (9.30) и (9.63), находим
I VI 2 = 1-ехр(-21 кр (i2, z,)l) + Jr"(zc2)exp (-2|y>(zc2, z2)|) -
-ПК (zcl) exp (-2|y>(zc , z2)I), (9.83)
I W\2 = exp(-2|y>(z2, z )|), k(z)= [/3"(z)/j3'(z) + p'(z)/p(z)J Г1.
Здесь сохранены только павные члены разложений по малым параметрам ехр (-
1 у>|) и к .
В отсутствие резонансного взаимодействия (к = 0) для модулей
коэффициентов отражения и прозрачности получаются такие же выражения, как
и при отражении от ютенциального барьера в случае (3 (z) >0 (см.
(9.46), где -яа = |у> (z2, г,)] > 1). Из-за экспоненциального ослабления
волны в области zt <z <i2 основной вклад в энергообмен звука и потока
дает верхний горизонт резонансного взаимодействия (z = zc2).
Аналогично может бьпь рассмотрен случай к (zf/I) (3(zm) < -? (см. рис.
9.3,6), когда волна имеет четыре точки поворота [77], а также другие
задачи с неблизко расположенными горизонтами поворота и резонансного
взаимодействия.
В качестве примера расмотрим усиление звука при отражении плоской волны,
падающей из однородной неподвижной среды на полупространство z<0 с
профилем скорости течения v0(z) = ("(z), 0,0), u(z) = um [1-exp(z/L) ].
(Скорость звука и плотность предполагаются постоянными во всем
пространстве.) Тогда j3(z) = l-%k~lM [l-exp(z/L)], где М = ит cos <р/с, р
- угол, образуемый вектором ? с осью Ох. Будем считать, что cos р > 0,
так как при cosy><0 заведомо ! V\ <1. Если (1 + М)~1 < %/к <М~1, то волна
имеет единствешую точку поворота, горизонт резонансного.взаимодействии
отсутствует. Гри этом происходит полное отражение: | V\ = 1. ЕслиЛР1 <
?/& < (М-1)-\ то существуют горизонты резонансного взаимодействия z = zc
и поворота z = z2. Величина | V\ 2 дается формулой (9.82). При ?/& > (Af-
I)-1 есть два горизонта поворота, z, и z2, причем zt < zc < < 22, и I V\2
следует вычислять по формуле (9.80). Значения a-i 2 (?) для
рассматриваемого экшоненциального профиля скорости течения удается найти
аналитически.
Результаты расчета энергетического коэффициента отражения | V\2 при kL =
500/я и трех значениях М представлены на рис. 9.4 для
196
Рис. 9.3. Вертикальная зависимость величины к(} при отражении звуковой
волны от ограниченной струи. Показаны горизонты поворота z = zj (/ = 1,
2, 3, 4) и резонансного взаимодействия 2 = 2ci U = Ь 2):
а - в окрестности горизонта zm волна неоднородна; б - внутри струи есть
область ''прозрачности" z3 < z < z4, где звуковые волны являются
распространяющимися
Рис. 9.4. Зависимость усиления звука А = = | V I2 - 1 неоднородным
потоком от угла падения волны в = arcsin ({/&) при различных значениях
числа Маха течения: М = 50; 5; 2. Во втором случае для наглядности
значение А домножено на 5 ¦ 10'5, в третьем - иа 107*. Параметр М
определен в тексте
?/&> (1 + М)~\ В случае М = 50 основной вклад в усиление звука в области
максимальных значений | V\ 2 дает приток энергии из z = -Величина I V\2
имеет резкий максимум вблизи угла падения, соответствующего минимальному
значению + а2. Усиление волны в случае М -5 в основном
(а при М =2 - исключительно) обусловлено резонансным взаимодействием с
потоком. Значение | V\ 2 максимально при таких углах падения, что а2
близко к своему минимальному значению. Зависимость | V\ 2 - 1 от числа
Маха ит/с течения и азимутального угла весьма резкая, так что для
изображения | V\ 2 -1 на одном графике при различных М приходится брать
