Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бреховских Л.М. -> "Акустика слоистых сред" -> 100

Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.

Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред — М.: Наука, 1989. — 416 c.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка): akustikasloistihsred1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 195 >> Следующая

контура у. Интеграл по 73 равен
J = j схр [p/(w)] F(W)dw = exp \pf{d)\ / exp(-ps)4>(s)ds,
° (11.14)
Ф(з) = F{w)dwjds.
Интегрируя по частям, имеем
4-ee
J = p'1 ехр(рДа)][Ф(0) + / exp(-ps)4>'(s)ds],
0
Последовательно повторяя эту операцию и используя равенство dwjds = = - 1
If '(w), получаем
1 +<" фУ) (0)
J = -ехр[р/(в)] ? --- =
Р 1=0 р'
-У (~1У + 1 /1 d V /F(w) М
= ехр(рДр)] ? - - - ) (777-7) (И-15)
1=0 pI+1 \/ (w) dw/ \/(w)/U=a
Если a = Wj, то для того чтобы Ф(з) была регулярной функцией, вместо
соотношения (11.13) следует использовать (11.4), где теперь 0 <
< +<". В результате для интеграла ло уг получаем выражение, отличающееся
от (11.5) только заменой нижнего предела интегрирования иа ноль.
Действуя, как при выводе (11.9), находим
] =ехр[р/К)1 Д фМ(0)Г (2р(<+1>/*7!). (11.,6)
Явные выражения для трех первых коэффициентов ряда (11.16) дают
221
формулы (11,12). Отметим, что главные члены асимптотических разложений
(11.16) и (11.9) отличаются только множителем 1/2.
Интеграл в конечных пределах можно представить в виде алгебраической
суммы иитегралов по бесконечному и двум полубесконечным контурам.
Следовательно, его асимптотика сводится к комбинации формул (11.9),
(11.15) и (11.16).
К интегралам в конечных или полубесконечных пределах сводятся вклады
точек ветвлеиия подынтегральной функции в (11.1). Пусть разрез
комплексной плоскости начинается в точке wb ветвления функции F и уходит
иа бесконечность (см. рис. 11.2). Обозначим Fi (w) разность значений F
(w) иа двух берегах разреза. Пусть в окрестности точки ветвления оиа
представляется рядом
*i(w) = g(w) 2 -Ai(w-wbfl, (11.17)
i = l
где 0 >0, ?(w) - регулярная функция. В (11.17) отсутствуют члены с целыми
показателями 0/, поскольку такие слагаемые принимают равные значения на
обоих берегах разреза. В частности, при /3=1/2 разложение (11.17) ведется
по полуцелым степеням w - w6.
Интеграл вдоль разреза продеформируем к пути скорейшего спуска,
проходящему через wb. Если wb Ф то переменную s будем определять со1ласно
(11.13); если wb = ws, то s определяется при помощи (11.4). Тогда
интеграл по берегам разреза равен (т = 0 в первом случае и т = 1 во
втором)
+ ",
Jb = / exp[p/(w)]f(w)dw = exp[p/(w")] / exp(-ps" + 1 )(r)(s)ds,
Tj о
Ф(л) = Fx (w)dwfds. (11.18)
Разность w - wb разлагается в ряд по целым степеням s, начиная с первой.
Поэтому Ф(я) представляет собой бесконечную сумму слагаемых вида
Binsl0+n"lt где /, п = 1, 2,... Почлеиное интегрирование в (11.18) легко
провести, нспользуя (11.7):
Jb = -Ц-ехр[рД"")] s В,"Т "-<" + <"/(", +1)_ (11.19)
m л-1 I," = 1 \ /л + 1 /
Выпишем главный член асимптотического разложения (11.19) при /3 < 1:
, (dw\ Y+l , . "рм"")]"/1 +0\
* ~Al Ui-o) (-Jp " + > X
Х [ '+°(^Р " + 1 + Р Я + 1)]' (11.20)
где, как мы видели выше, (dw/ds)s=0 = -lff\wb) прн m - 0; (dwlds)s^0 = (-
2//"(Wb))1/2 при m = 1.
Формулы (11.9), (11.15), (11.16) и (11.19) дают асимптотическое
разложение любого интеграла вида (11.1), имеющего единственную сед-новую
точку ws, удовлетворяющую условию (11.3). (Такую седловую
222
точку называют простой). Метод перевала позволяет рассмотреть и бо* пее
сложные случаи, когда в (11.1) имеется несколько перевальных точек любого
порядка. Точка ws называется перевальной точкой m-го порядка, если
Рассмотрим интеграл (11.1) с такой перевальной точкой. Определим замену
переменной w(s) формулой
Значение s = 0 соответствует точке w = w,. В окрестности s =0 функция
w(s) является аналитической (см. [232, § 32]). В малой окрестности точек
w = ws и s = 0 функции f (w) и sm*1 = | s jm+ 1 [cos((w + l)arg s) + +
is\n((m + l)arg s)j имеют одинаковую структуру линий постоянного уровня
вещественной и мнимой частей. На комплексной плоскости s через
перевальную точку проходит (т + 1) линия постоянного уровня вещественной
части sm+l, а именно s = лехр[/я(2/ + l)/2(w + 1)]. (Здесь -00 < а<+°°, 1
= 0, 1". . . , т). Они разбивают комплексную плоскость на 2 (т + 1)
секторов. Внутри каждого сектора величина Re $т+1 имеет определенный
знак. Секторы cRes"1*1 < 0 HResm + 1 > 0 чередуются. Каждый сектор
содержит ровио один луч s = | s 1 • ехр [in//(m + 1) ], / = 0, 1,.. ., 2т
+ 1, на котором постоянное значение имеет величина Im sm+1. В секторах,
где Re sm < 0, эти лучи являются линиями быстрейшего роста /(w), а в
секторах, rfleResm+I > 0 (в ''долинах"). линиями быстрейшего спуска.
Иллюстрацией сказанного при т = 1 служит рис. 11.1, иа котором секторы,
где Re sm* 1 > 0, выделены точками.
Нели контур у в (11.1) неограничен, то о" уходит иа бесконечность по
''долинам", иначе интеграл был бы расходящимся. Перевальный путь
интегрирования состоит из двух лучей быстрейшего спуска Г1>2. лежащих в
тех ''долинах", по которым уходит на бесконечность у. Для вклада каждого
из лучей имеем
причем J = J1 + /2 ¦ Разлагая функции Ф/(л) в степенной ряд и используя
(И .7), получаем
Вычисляя при помощи (11.21) и (11.22) производную dwtfds \s=0, для Ф/(0)
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed