Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
(11.49)
yfn (1 - erf и)и exp ("2) = 1 + S (-l)m(2rn - 1)!! (2и2у~т,
т = 1
I arg ы| < Зя/4, | и | > 1.
Подставляя (11.49) в (11.46), получаем при обоих знаках Im sp:
+ р|*р>1. (11.50)
Тот же результат дает прямое применение к (11.45) нашей формулы (11.9).
Эта асимптотика, как мы видим, относится к случаю, когда полюс далек от
точки перевала.
Проанализировав эталонный иигеграл (11.45), перейдем к отысканию
равномерной асимптотики исходного интеграла (11.1). Заменой перемен-
иых(11.4) он приводится к виду (L1.5). В рассматриваемом случае
/'(w) = a(w - wp)_1 +f| (w), a = lim [F(wXw " wp)l > (11.51)
w wp
F.i (w) - регулярная функция. Из равенства w(sp) = wp и (11.4) следует b
=^/nws)-Kwp). (11.52)
Подынтегральную функцию в (11.5) разобьем иа два слагаемых:
Ф(5) = a(s-spy' +4>,(s),
<S>,(s) = -2sFt(w)lf'(w) - a[2s(f'(w)(w - ПР)У' + (s-sp)_1]- ^11'53->
Отметим, что Ф) - регулярная функция s. Используя (11.9) и (11.45),
получаем тогда искомую .равномерную асимптотику
+ (2оФ!2,)(°)-~- ]. (11.54)
Здесь берется нз (11.52); из (11.53) и (11.12) следует
Ф,(0) = F(ws)\/-2lf"(ws) + a/sp. (П-55)
Знак радикала в (11.52) выбирается так, чтобы обеспечить подобие в
расположении критических точек в исходном и эталонном интегралах. Это
тре-
230
бование можно записать в виде
lim [(wp - ws)lsp] - dwjds| 0 *\!"(ws). (11.56)
WP -* ws
Знак последнего радикала определяется так же, как в (11.12).
При условии
(П.57)
можно воспользоваться асимптотикой (11.50) эталонного интеграла Тогда из
(11.54) получаем, как легко убедиться, обычный результат метода перевала
(11.9). Неравенство (11.57) служит, таким образом, критерием
''достаточной удаленности" критических точек, предполагаемой в методе
перевала.
В случае полюса произвольного порядка N в (11.1) функцию Ф(з) в (11.5)
представим в виде
Ф(s) = 2 an(s - sp)~n + ф, (s), (Н.58)
П ~ 1
где Ф} - регулярная функция. Равномерной асимптотикой интеграла
(11.1) будет
/ = ехр [p/(Wj)] [ 2 ап +(-)/2 2 Ф'2,>(0)^|ТГ 1 '
[и = 1 \р/ t - О Р *'¦ J
(11.59)
sp определяется здесь так же, как при N = 1. функция (л, р, sp)
выражается через 3^i (1, Р, sp) при помощи рекуррентной формулы
&(л + 1, р, Sp) = л"1 - &(л, p,Sp), л = 1, 2,... (11.60)
OSp
Условием перехода к результатам метода перевала по-прежнему будет
(11.57). Явные выражения для <*\,ап иФ] (0) выпишем при УУ = 2:
?i(2 ,pySp) =-2pspfi(l,p,Sp)-2(np)112, (11.61)
flj - lim [/T(w)(>v - wp)2]a2 = ^ b'm /T(w)(w - wp)2,(11.62)
wp -2sp w Wp
*,(0) = F(ws)V^:2Ar("^) ~(a2 - aiSp)ls2p.
При дифференцировании в (11.60) мы учли, что (erf и)1 = 2я"1/2 ехр (-W2)
согласно (11.47).
Перейдем к более сложной задаче о равномерной асимптотике интеграла (il
l), имеющего одну простую перевальную точку ws и точку ветвления wb
функции f'(w). Локальная асимптотика, справедливая при условии I ws -
vi^| < 1, была получена и подробно исследована в работах [41, 43], [52, §
31]. Равномерная асимптотика построена в [307]; см. также работы
[236,237, 326,551] и указанную там литературу.
231
Рассмотрим интеграл
J~ f dw(w - wbfg(w) exp [ipa(w- wa)2], |a| = l, (11.63)
где g (w) - произвольная регулярная функция. Под степенью и& ккомплекс-
иого числа и - \ и\ exp (/ arg и) мы подразумеваем | и | ^ ехр (00 агЕ
и)" -тг < arg и < л. На комплексной плоскости w такому опредепе?нню соот'
ветствует разрез, показанный на рнс. 11.3 прн wb = Ь для двух всРэможных
,1тц>
Рис. II.3. Контуры интегрирования Rew (кривые со стрелками) и I
расположе-
ш -¦ ш ние разреза ддЯ эталонны*1* интегра-
лов и в случаях:- i > О
Ш> (2); Im * <0(2)
Гг
знаков Im Ь. Предполагается, что подынтегральная функция вв (11-63)
стремится к нулю прн w -> вдоль контура интегрирования. Мсожно счи' тать,
например, что Im а > 0, а | g (н') | < С exp {aw1), 0 < а < +"**•
Эталонным по отношению к (11.63) будет интеграл
fciP.bJ5)= / ds(s - bf exp Ups2). (11,64)
В дальнейшем нам потребуется также интеграл по охватывающем^ разрез
контуру 72 (см. рис. 11.3)
#3 (р,Ь,р) = / ds(s-b'fexp(ips2). (11.65)
Уг
Пользуясь интегральным представлением функций параболичес^кого ЦП" линдра
[240, гл. 19] -
/"
Dv{u) = (2я)-112 ехр [ы2 /4 + (р + 0,5) яг] / ds ¦ ^ exp (us + s2 /'У-)>
I a-gsj < jt/2, (11.66)
легко выразить &2 И f, через детально исследованную и табулир<РованНУю
[140, 195,250] функцию Dv:
г м2
Jh(P,i,0) - v^f(2pr<,+"/2 exp j -
+ -(1-0) 4 ,
(1 - o)|z)j("), и = \/1рЬе~3''14. (11.67)
2
1 f i , in ,
gk(p,i,0) =2tra-~-- exp - pi? + - (0 + 3) X Г(-Р) 12 4 J
X(2p)-(1+"/2Z)_1_s(vr2?ie3'r'/4)> о = sgn (Im i). (11.68)
Рис. II .4. Модуль А (в) и фаза а (б) функции Ф (и). Штриховыми линиями
показаны приближенные значения А ив, получающиеся прн учете первых членов
каждого из слагаемых в асимптотических разложениях (11.69)
а(р, =
Здесь р принимает комплексные значения; 1ш р > 0. Прн переходе Ъ через
вещественную ось интеграл ^2 испытывает скачок, равный поскольку скачком
меняется значение аргумента (s - bприз < Ъ.
Когда стационарная точка s = 0 и точка ветвления s = Ъ в интеграле
