Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Вышеприведенное рассмотрение упругих свойств решетки нельзя применить к ионным кристаллам, так как в этом случае коэффициенты^! оказываются существенно неопределенными. Так, в
соответствии с тем, что взаимодействие между ионами является кулоновским, имеем
, , ,, d ( eic вк' 'j 1
(r ) = Yr* [ r~~) = _ T ~i*~
§11. Однородная деформация и упругие постоянные
159
Таким образом, второй член в (11.16) равен
2 е "v4 гм , je 1 екек'
Va ^ ЦД) “ аР Va х(Г) + х(к) — X(к')'3
Для больших I' можно пренебречь разностью х(/с')— х(/с) по сравнению с x(Z') и заменить суммирование интегрированием :
Отсюда для той части предыдущей суммы, которая получается за счет | x(Z') | > R g> постоянной решетки, имеем приближенно выражение
00
. екек- (• d х . 4яе*е*> . , , I”
R
которое расходится. Аналогично находим, что четвертый член в
(11.16) также расходится в этом случае для а = /J и имеет знак, противоположный знаку только что рассмотренного члена. Таким
I к k* I
образом, значения коэффициентов ^ j совершенно неопределенны.
Эту аномалию можно пояснить в физических тер.минах следующим образом :|ц^| выражает а-ко.мпоненту силы, действующей
на ионы сорта к (в единице объема), которая вызывается единичным смещением всех ионов к' в направлении /?. В терминах теории Максвелла смещение /с'-ионов вызывает однородную диэлектрическую поляризацию. Если рассматриваемый образец имеет конечные размеры, то эта поляризация создает поверхностный заряд ; последний же создает макроскопическое электрическое поле, действующее на /с-ионы. Электрическое поле, а следовательно, и обусловленные им силы существенно зависят от формы образца. В вышеприведенном рассмотрении мы молчаливо предполагали, что решетка обладает бесконечной протяженностью ; иньши словами, мы формально рассматриваем предельный случай бесконечно большого образца. Поскольку силы зависят от формы образца, они не имеют однозначного предельного значения для бесконечно большого и произвольного образца.
Однако в том частном случае, когда не вызываются внутренние деформации, вышеупомянутая трудность уже не возникает, и рассмотренная выше теория применима. Как мы видели, это имеет место при такой структуре решетки, когда каждая ее частица расположена в центре симметрии.
Очевидно, что во всех щелочно-галоидных решетках как щелочные, так и галоидные ионы расположены в центрах симметрии.
160 Глава 3. Упругость и устойчивость
Таким образом, вышеизложенное рассмотрение применимо, и соотношения Коши будут выполнены, если силы взаимодействия между ионами являются центральными. Благодаря кубической симметрии щелочно-галоидных кристаллов отличные от нуля упругие постоянные связаны друг с другом следующим образом :
С11 = С22 = С33 |
С12 = С23 = С31 |' (11.32)
С44 = С55 = С66 J
Следовательно, соотношения Коши сводятся к единственному соотношению
С12 = С44 •
Экспериментальные значения с12 и см имеются для LiF, NaCl, КС1 и КВг ; они приведены в табл. 23 наряду с отношением с^с12.
Таблица 23
отклонения от соотношения коши*
с.-. ¦ 10й, дин/смг с„ ¦ Ю11, дин/см'
LiF 4,04 5,54 1,37
NaCl 1,23 (1,17) 1,26 (1.34) 1,03 (1,14)
KCI 0,60 (0,60) 0,63 (0,67) 1,05 (1,12)
КВг 0,54 0,508 0,94
¦Приведенные значения относятся к комнатной температуре. По поводу LIF, NaCl, КВг см. работу [2] ; по поводу KCI см. работу [3]. Значения в скобках представляют I собой значения, экстраполированные к абсолютному нулю температур [3].
Мы видим, что отклонения величины с44/с12 от единицы достаточно малы, за исключением случая LiF. Как упоминалось в § 1, Левдин, используя первое приближение волновомеханической теории возмущений, нашел, что часть энергии сцепления решетки не может быть приписана парным взаимодействиям ; при упругих деформациях эта часть обусловливает отклонения от соотношений Коши. Теоретически рассчитанные Левдином значения отношения с^с12, хотя и обнаруживают правильный знак отклонения от единицы, однако в действительности сильнее отличаются от экспериментальных значений, чем эти последние от единицы.
Вернемся еще раз к общему выражению (11.9) для плотности энергии. В общем случае оно относится к первоначально деформированной решетке. Соответствующие напряжения в начальной кон-
§ 12. Механическая устойчивость простых решеток
161
фигурации получаются непосредственно дифференцированием (11,9):
Величина Sa(k) выражает внешние силы, которые должны быть приложены к А-ионам (в единице объема) для удержания решетки в этой деформированной конфигурации, в то время как Se выражает компоненты упругих напряжений в решетке. Мы видим, что приведенные ранее условия равновесия свободного кристалла (11.13) и (11.14) эквивалентны требованию, чтобы на ионы не действовали никакие внешние силы, а упругие напряжения были равны нулю.
