Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
J X + А X |2 - | X I2 = 2 2’ Ха Л Ха + 2’ {А Ха)2-
а а
Для Лх-^х соответствующее изменение потенциальной энергии может быть выражено в виде ряда Тэйлора по возрастающим степеням компонент вектора А х
у' (j х 2) [2 v х« Д ^ [? Л'.)2] + V (i х i2) [v Л ха]2. (11.5)
а а а
Для настоящего рассмотрения членами третьего и более высоких порядков можно пренебречь.
Поскольку при однородной деформации структура решетки остается идеальной, все ячейки решетки взаимно эквивалентны. В соответствии с этим может быть непосредственно вычислено изменение энергии, приходящееся на одну ячейку. Будем рассматривать изменение потенциальной энергии взаимодействия между
частицей^ j и всеми остальными частицами решетки, а затем просуммируем j по нулевой ячейке. Таким образом, при изменении относительного радиус-вектора частиц Ц(] и Г ° ] от
соответствующее изменение энергии на одну ячейку, как легко
152 Глава 3. Упругость и устойчивость
убедиться с помощью (11.5), равно
зд*е*(?)-*т12гма-*(::))х
X (и. ( [.) - ". (2) + 2 (“. ( г ) - “¦ ( ° ))’] ¦+
хИ?)-“-(Ж <116>
где укк> — потенциальная функция взаимодействия между частицами типов к и к'. При суммировании по Ц, j мы не обязательно должны явно исключать случай Ц,) = ) (который, очевидно, не
имеет смысла), если будем подразумевать, что функции у обращаются в нуль при нулевом значении аргумента. Множитель х/2 учитывает
тот факт, что энергию взаимодействия частиц Ц, j и ( jj ] следует
рассматривать как «распределенную» между ними обеими.
Для однородной деформации получаем из (11.2)
«а (Д - «а 0 = Ы« (*') - «а (*) + у “«Р Хр J , ( 1 1 -7)
где для простоты введено обозначение
х(Л) = х(?)“х(9- (11-8)
Подставляя (11.7) в (11.6) и выполняя умножение в соответствующих членах, найдем, что плотность энергии и, обусловленная деформацией, может быть записана в виде
и = ~ (- 2 ^ (ы„ (А) + >’ щ (к) и А У \у>' ха] / г V +
Va I ка ^ ,3 > I' к- \к' к1
+ 2 (11 аР + Y — UV« «J — W Х„^]/ Г \ + afl V ^ v J I'k'k Кк'к’
+ ~ ^ U«(*) и9 (к') [<5а.к' [v']x( '' \ - lV],( '¦ \ +
ка к‘0 1 к \к-к> Г Wk’
+ 2 1' )-2 2 [у>'хахр]я( Г \ -
Г к’ '***' Г \к-к>
- О’ ™ Uu W Щу 2 [V ха Хц Х;.1 / /'
f о Р )• Г к’
1 ;*)
+ J Ы,д.Ид* 2 [ф'ХаХуХрХг] , Г ) , (11.9)
ару Г к'к Ук’кП
§ 11. Однородная деформация и упругие постоянные 153
где энергия, приходящаяся на одну ячейку, умножена на 1 jv„ для получения плотности энергии. Аргументы функций, заключенных в квадратные скобки, указаны в каждом случае внизу справа ; кроме того, под у) подразумевается у)кк-, если указанным аргументом является относительный радиус-вектор частиц типов
к и к', как, например, х ¦
На первый взгляд не вполне очевидно, что (11.9) следует из подстановки (11.7) в (11.6); наш опыт показывает, что подробная проверка этого результата представляет собой полезное упражнение. В этой связи следует отметить определенный характер симметрии следующих сумм :
а) [V'lx( '' >
/' \к' к!
б) 2i[y>'xu]xi м -
V \к-к!
в) ^:>'хах^]х( '• *
V \к'к>
Г) ^ [V ХаХр] ( Г \ -
V \к'к1
Д) ^[V*xax/jxy]x/i'\ -
V \к’к>
е) 2:[w"xaxyxpxx]j г ] -
V \k-kl
Возьмем в качестве примера сумму «б», которую можно записать в явном виде
2 W хХ(? ) ¦-= 2 V' (! X (Г) + х (к') — X (A) |2) х
х {ха(Г) + ха(к') - ха(к)}, (11.11)
где мы разбили вектор х fc] = х j — х в соответствии с (11.3).
Мы можем, очевидно, заменить х(/') под знаком суммы в правой части на — х(Г), так как когда /' пробегает все целочисленные значения, то — х(/'), точно так же как и х(/'), пробегает все точки простой решетки Бравэ. Таким образом, имеем
2 W х„]х( = 2 V (i — х (/') + х (ft') - х (к) ;2) х
i \к'к> Г
X {-Xa(/')+Xa(ft')-Xa(ft)} =
= -2>'( Х(Г) +x(ft)-x(ft')|2){xa(/') + Xa(ft)-Xa(ft')}. (11.12)
V
За исключением отрицательного знака, правая часть этой суммы такая же, как и в (11.11), но А: и к' взаимно переставлены; из этого следует, что сумма «б» антисимметрична относительно к и к'. Те же
симметрична,
антисимметрична,
симметрична,
(11.10)
симметрична,
антисимметрична,
симметрична.
154
Глава 3. Упругость и устойчивость
рассуждения можно применить ко всем суммам в (11.10). Результат очевиден : та или иная сумма симметрична или антисимметрична относительно к и к' в зависимости от того, четное или нечетное число множителей х входит в эту сумму. В (11.10) указан характер симметрии этих сумм ; он учтен при написании (11.9).
