Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы должны сделать вывод, что, хотя формула (7.5) справедлива для частот, удаленных от ш0 (как показывают, например, результаты Фукса и Вольфа), она перестает выполняться вблизи ш0. Причина этого уже была указана в § 8 : феноменологические уравнения (7.1) и (7.2), из которых выведена дисперсионная формула, являются приближенными в том отношении, что в них сделано пренебрежение всеми членами, кроме линейных. В обычных условиях это приближение совершенно законно ; однако вблизи со0 оптические эксперименты, так сказать, необычайно чувствительны к небольшой неточности, обусловленной этим приближением. Линейность уравнений (7.1) и (7.2) ответственна за тот результат, что различные волны в решетке взаимно независимы. В действительности же они связаны друг с другом малыми членами высших порядков, которыми мы пренебрегли. Благодаря этой связи энергия каждой отдельной волны в решетке медленно «диффундирует» в многочисленные другие колебания решетки и в конце концов проявляется в виде тепла. Особая важность этого малого эффекта для оптических волн с частотами, близкими к ш0, связана, как мы видели в § 8, с тем обстоятельством, что плотность энергии в таких волнах сосредоточена преимущественно на частицах решетки (в виде механической энергии колебаний), а не в электромагнитном поле. Поэтому энергия частиц решетки непропорционально велика по отношению к потоку электромагнитной энергии. В стационарном состоянии потеря энергии колебаниями решетки должна восполняться потоком электромагнитной энергии. При рассматриваемых условиях сравнительно малая потеря энергии колебаниями решетки, обусловленная слабой связью, резко уменьшает электромагнитную энергию.
140
Глава 2. Колебания решетки
Это означает, разумеется, сильное поглощение оптической волны средой.
Детальное рассмотрение дисперсии вблизи дисперсионной частоты очень сложно, потому что при этом приходится рассматривать совокупность всех колебаний решетки, ответственных за диссипацию энергии. Мы вернемся к этой проблеме в последней главе.
Для целей анализа эмпирических данных вблизи со0 оказывается удобным использовать дисперсионную формулу, которая учитывает диссипацию энергии ad hoc. Именно, мы вводим в уравнение движения (7.1) простой демпфирующий член
w = ftuw — yw + b12E, (10.4)
где у — положительная постоянная, имеющая размерность частоты ; добавочный член выражает силу, направленную всегда противоположно движению. Для комплексных периодических решений типа рассмотренных в § 7 и 8 уравнение (10.4) сводится к виду
— w2w= (ftu -f imy) w + b12E. (10.5)
Таким образом, добавление демпфирующего члена эквивалентно замене Ьп на bn -f- icoy. Следовательно, теперь дисперсионная формула (7.4) принимает вид
«Н = 1 +^ + ^1^ =
= + - ; (Ю.б)
I си0 I си0 си0
для плоских оптических волн мы имеем теперь вместо (8.23) равенство величины к2с2/со2 вышеприведенному выражению.
Для плоской волны, бегущей в направлении оси х, фазовый множитель имеет вид
gi(llX-ait) _ _ gicu[y?-;cu)x с—f] ^jQ 7)
Точно так же, как и для непоглощающих сред (у которых диэлектрическая постоянная вещественна), определим как показатель преломления, который мы обозначим через п :
п = п (1 + Ы) = У7 . (10.8)
Число п теперь комплексно, причем его вещественная и мнимая части равны п и п х соответственно. [В литературе показатель преломления иногда пишется в виде л(1 — i х); эти различные способы выбора зависят от принятого условия, касающегося е, т. е. от того, будет ли в браться с множителем exp (— icot) (как в данном изложении) или с множителем exp (icot). Смысл п и х, однако, остается тем же самым при любом из этих двух условий.]
$ 10. Эксперимент, аспект инфракрасн. дисперсии на ионных кристаллах 141
Возводя в квадрат (10.8) и сравнивая результат с дисперсионной формулой (Ю.б), найдем
л2 (1 - х2) = ?оо +
2л2* =
ь-ш+eiw
ЫЗ’МЗ'КГ
(10.9)
(10.10)
Определение (10.8) еще не фиксирует знака п ; таким образом, одновременная перемена знаков у п и п-л не влияет на (10.9) и (10.10). Однако из (10.10) видно, что п и пх должны иметь один и тот же знак (ибо е0 > е^); обычно уславливаются выбирать знак п такой, чтобы как п, так и х были положительны.
Написав, далее, уё в (10.7) в виде /7(1 + / и), имеем
g':w(nx'c-t) g—(nxwc)x
С учетом принятого выше условия знаков первый множитель описывает волну, бегущую в направлении оси х, причем ее фазовая скорость равна с.т. Второй множитель описывает экспоненциальное убывание амплитуды в направлении распространения. Относительное уменьшение этого множителя на длине dx, очевидно, равно
2пу. п
dx_ 2-т с
СО
Поскольку 2 т.с/со — длина волны в вакууме, 2 ппк определяет, следовательно, относительное уменьшение амплитуды на одной длине волны в вакууме. Величины п их известны под названием оптических постоянных поглощающей среды.
