Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борн М. -> "Динамическая теория кристаллических решеток" -> 67

Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.

Борн М., Кунь Х. Динамическая теория кристаллических решеток — М.: Ил, 1958. — 488 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakristalicheskihreshetok1958.pdf
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 186 >> Следующая


Общая однородная деформация, как мы видели, описывается З/z + 9 параметрами, т. е. тремя компонентами каждого из п векторов и(к) (к = 1, 2, . . ., п) и девятью параметрами деформации и?р. Однородная деформация, очевидно, включает, в качестве частных случаев, переносы и вращения решетки, как целого. Эти движения, характерные для твердых тел и соответствующие шести степеням свободы, очевидно, не влияют на плотность энергии. Поэтому должна существовать возможность такого выбора этих Зп + 9 параметров, чтобы только 3/г -f 3 из них выражали истинные деформации решетки ; плотность энергии будет тогда функцией только этих последних параметров. И действительно, как мы видели выше, плотность энергии (11.26) зависит только от разностей и (/с)—и(1) (к = 2, 3, . . ., п) и от шести упругих деформаций ss„ т. е. в целом, как и должно быть, как раз от 3(/z + 1) параметров.

Величины sg и и(к) — и(1) (к = 2, 3, ..., п) являются, однако, адекватными параметрами деформации только в первом приближении. Благодаря условиям равновесия деформации появляются в

(11.26) только в членах второго порядка. Поскольку мы пренебрегли членами третьего и более высоких порядков, мы, следовательно, имели дело с этими величинами лишь в первом приближении. Если вернуться к более общему выражению (11.9) для плотности энергии, то становится очевидным, что эти параметры не полностью описывают состояние деформации в общем случае. Дело в том, что (11.9) уже не зависит от одних лишь симметри-зованных параметров иар + и?,л (= sp).

Вид первых двух членов формулы (11.9) подсказывает, что мы должны ввести в общем случае в качестве параметров деформации векторы й(к) и симметричный тензор йар = йра, определенные следующим образом :

И. {к) = иа (к) + 2 и? (к) и?*,

(11.35)

У

(11.36)

11 Макс Борн и Хуан Кунь
162

Глава 3. Упругость и устойчивость

Легко проверить, что при добавлении одних только членов третьего порядка можно записать (11.9) в виде

Учитывая антисим.метричность (11.10) «б» и тождества (11.20) и (11.22), можно показать, как и ранее, что добавление одного и того же вектора ко всем векторам й(/с) не влияет на плотность энергии и поэтому ее можно рассматривать как функцию п — 1 векторов й(к) — й(1) (к = 2, 3, ..., п). Таким образом, в этом общем случае величины й(к) — й(1) вместе с Ctajl = йра составляют 3(/г -j- 1) параметров деформации.

Справедливость вышеприведенного рассмотрения, разумеется, все еще ограничена тем обстоятельством, что мы пренебрегли членами высших порядков в выражении для плотности энергии. Например, введенные выше параметры деформации могут оказаться справедливыми лишь с точностью до членов второго порядка (включительно). Однако в § 36 мы увидим, что эти параметры деформации действительно являются адекватными параметрами в общем случае. Заметим, что параметры «(А) и sg являются просто первыми приближениями к параметрам й(/с) и йа;} = Ci;ia.

§ 12. Механическая устойчивость простых решеток

Условия равновесия (11.13) и (11.14) выражают только требование стационарности значения плотности энергии при равновесии. Чтобы решетка была устойчивой, плотность энергии (11.15) должна быть положительно определенной квадратичной формой, так чтобы энергия возрастала при любой малой деформации. Используя результаты предыдущего параграфа, мы изложим некоторые соображения об устойчивости нескольких простых типов решеток, принадлежащие Борну и его сотрудникам [4—8]1).

Рассмотрим сначала три кубических решетки Бравэ — простую кубическую, объемноцентрированную кубическую и гранецентри-ровакную кубическую решетки. Все три решетки .могут быть описаны на единой основе следующим образом. Пусть а1, а2, а3 — три взаимно перпендикулярных вектора одной и той же длины а. Точки решетки во всех трех случаях могут быть выражены как

(11.37)

li &i + Is а2 “Ь а3 j

(12.1)

:) См. также другие статьи этой серии.
§ 12. Механическая устойчивость простых решеток 163

где /1( /2, /3 — целые числа, подчиняющиеся следующим условиям для трех рассматриваемых случаев :

1) простая кубическая без ограничений ;

2) объемноцентрированная кубиче- llt /2, /3 либо все четные,

ская либо все нечетные ;

3) гранецентрированная кубическая 1Х + 12 + /3 четно. Заметим, что векторы а1? а2, а3 не являются базисными векторами для двух последних решеток.

Для простых решеток (11.1) описывает единственный тип однородной деформации ; поэтому в выражении для плотности энергии остается только последний член, который непосредственно равен энергии деформации :

1 V,

2

Сда Sp Sa .

Соответствующие упругие постоянные связаны соотношением (11.30) со «скобками», определенными в (11.18). Если расположить коэффициенты вышеприведенной квадратичной формы в виде матрицы

С11 ^12 С13 С14 С15 С16
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed