Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Если первоначально решетка находится в состоянии равновесия, то соответствующая плотность энергии минимальна ; поэтому члены в (11.9), линейные в и(к) и иа,ь должны обращаться в нуль. Следовательно, должно быть
Эти равенства представляют собой условия равновесия для решетки, на которую не действуют внешние силы. Из антисимметричности (11.10) «б» в к и к' следует, что если мы просуммируем левую часть
(11.13) по всем значениям к, то результат тождественно обратится в нуль. Это показывает, что из п уравнений (11.13) для каждого данного а только (п — 1) взаимно независимы, так что (11.13) дает в итоге 3(п — 1) независимых уравнений. Для заданных формы и размеров ячейки решетки эти уравнения определяют относительные положения всех п частиц в ячейке. Ввиду симметрии в а и /3,
(11.14) дает шесть независимых уравнений, которых как раз достаточно для определения формы и размеров ячейки ; действительно, ячейка определяется шестью параметрами, в качестве которых можно выбрать, например, длины трех ее ребер и три угла между ними.
Учитывая условия равновесия, можно записать плотность энергии в виде
где коэффициенты для краткости выражены в виде скобок, определенных следующим образом :
(11.13)
(11-14)
и =
+ i 2 {ауРЦиаУЩх, (11.15) * ¦/*
§ 11. Однородная деформация и упругие постоянные
155
Эти скобки удовлетворяют некоторым очевидным соотношениям симметрии и тождествам. Первый и третий члены в правой части
(11.16), очевидно, симметричны в к и к'. Та же симметрия имеет место для второго и четвертого членов ; это непосредственно следует из характера симметрии соответствующих сумм в (11.10). Поскольку каждый член в (11.16), очевидно, также симметричен в декартовых индексах а и /3, мы имеем двойную симметрию в к, к’ и а, /3 :
\кк'\ _ ik'k\ __ \кк'\
М/ \apf-\paf (11’19)
Если мы просуммируем (11.16) по всем значениям к’, то найдем, что взаимно погашаются первый и второй члены в правой части, а также третий и четвертый члены. Таким образом, имеем тождества
<и-2°)
Соотношения симметрии (11.19) сокращают максимальное число независимых коэффициентов этого типа до 3п(п + 1). Формула
(11.20) дает 6п независимых тождеств, которые дополнительно сокращают это число до 3п(п — 1).
Из определения (11.17) очевидно, что
к )
а , /Зу| полностью симметрично по всем декартовым индексам. (11.21)
Кроме того, из антисимметричности суммы (11.10) «^непосредственно следует, что
(1L22)
Число независимых коэффициентов, совместимых с (11.21), равно 10я ; это число сокращается до 10(я — 1) за счет десяти независимых тождественных соотношений (11.22).
Из определения (11.18) непосредственно следует, что
{ау/ЗЛ} полностью симметрично но всем четырем декартовым индексам. (11.23)
Это требование оставляет взаимно независимыми только пятнадцать коэффициентов этого типа.
Из симметрии всех коэффициентов в (11.15) относительно декартовых индексов а, /3, . . . очевидно, что плотность энергии зависит только от симметризованных параметров
иаР + иРа ¦
Следуя Фойгту [1 ], можно, таким образом, ввести вместо и^
156
Глава 3. Упругость и устойчивость
где индексы д = 1, 2, .. ., б связаны с тензорными индексами а, /? следующим образом :
д 1 2 3 4 5 б
(11.25)
(а,р) 11 22 ‘ 33 23(32) 31(13) 12(21)
Плотность энергии (11.15) можно выразить через величины sg в виде
“ “ 2 ? 2l«Hi“¦№) + »(«•<*>*>+
к п. к' ft
2
где скобки те же, что и ранее, не считая прямой замены тензорных индексов индексами Фойгта в соответствии с (11.25).
Как мы помним, компоненты s} описывают тип деформации, выраженный формулой (11.1). Они совпадают с упругими деформациями, фигурирующими в классической теории упругости, и определяют с точностью до членов первого порядка (см. ниже) размеры и форму макроскопического образца, равно как и ячейки решетки.
Из тождеств (11.20) и (11.22) следует, что на плотность энергии
(11.26) никак не влияет добавление произвольного вектора ко всем векторам и(/с). Это показывает, что плотность энергии зависит только от разностей векторов и(/с); эти разности выражают относительные сдвиги между различными «компонентными»1) решетками Бравэ. Такие сдвиги являются микроскопическими по величине и не влияют на макроскопические размеры образца. Можно, таким образом, описывать деформации, отвечающие u(/t) и sp, соответственно как внутренние и внешние деформации ; последние, как мы видели, идентичны упругим деформациям.
