Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Типичная кривая для потенциальной функции у изображена на фиг. 25. Потенциальная функция имеет минимум — и0 при г = д0; на этом расстоянии притягивающая и отталкивающая силы взаимно уравновешиваются. Расстояние между ближайшими соседями (равное радиусу самой внутренней из имеющихся оболочек) для решетки,
166 Глава 3. Упругость и устойчивость
находящейся в равновесии, обычно очень близко к р0, поскольку частицы решетки взаимодействуют, главным образом, со своими ближайшими соседями. Из фигуры видно, что снаружи от точки
г2 = pg функция у) вскоре проходит через точку перегиба, где ее вторая производная у>" изменяет свой знак с положительного на отрицательный. Поэтому если оболочка, следующая за самой внутренней, приходится на область г2, лежащую за точкой перегиба, то с12 в случае простой кубической решетки и (сп — с12) в случае объемноцентриров анной кубической решетки будут отрицательны и, следовательно, решетки неустойчивы. Поскольку область между pg и точкой перегиба очень узка, такие решетки, состоящие из частиц, взаимодействующих друг с другом центральными силами, вероятнее всего неустойчивы. В том случае, когда область между pg и точкой перегиба относительно широка, объемноцентрированная кубическая структура обладает гораздо большей вероятностью оказаться устойчивой, чем простая кубическая решетка. Дело в том, что отношение значений г2 второй из имеющихся оболочек и самой внутренней оболочки равно
для объемноцентрированной кубической решетки и
4 = 2 (12.9)
1 I
для простой кубической решетки. Таким образом, промежуток между обеими оболочками в объемноцентрированной кубической решетке гораздо более узок.
Аналогичное исследование было проведено Борном [7,8] для двух гексагональных решеток. Рассмотрим сперва гексагональную
Фиг. 25. Типичная кривая потенциальной функции у (г2).
§ 12. Механическая устойчивость простых решеток
167
решетку Бравэ, в которой частицы решетки образуют плоскости гексагональной сетки, а атомы в различных плоскостях расположены по вертикали непосредственно один над другим. Положения атомов в гексагональной плоскости обозначены маленькими кружками на фиг. 26. В качестве базисных векторов решетки могут быть выбраны
остаются только условия равновесия (11.14). Суммирование в (11.14) в этом случае производится по следующим точкам решетки :
Из соображений симметрии легко убедиться, что для а ф /? (11.14) выполняется автоматически, а для а = (3 мы получаем только два независимых условия
a1 = (а, 0,0),
рождают плоскость гексагональной сетки, а а, смещает атомы в перпендикулярном направлении так, что расстояние между соседними плоскостями равно уа.
а3 = (0, 0, у а), (12.10)
где декартовы компоненты указаны в скоб-
ках. Векторы а1( а2 по-
Для простой решетки
Фиг. 26. Проекции положений атомов в двух
гексагональных решетках.
а) 2 \У>' xfW) = 2 [V' х|]х(!> = 0 >
(12.11)
Как и ранее, сгруппируем точки решетки в последовательные обо
168 Глава 3. Упругость и устойчивость
лочки. Если у не слишком далеко от единицы, то первые несколько оболочек имеют следующие значения квадрата радиуса :
а2, у2 а2, (1 + у2) а2, 3 а2, 4 а2, (3 -j- у2) а2, ... .
Если подсчитать вклады отдельных оболочек, то условия равновесия принимают вид
а) у' (а2) + 21// ((1 + у2) а2) + 3 у' (3 а2) + . . . - 0,
(12.12)
б) у'(У2а2)+ 12 v' ((1 + у2) аг) + ... =0.
При любом значении у первый из выписанных членов имеет наименьший аргумент как в «а», так и в «б». Для случая короткодействующих сил достаточно удержать только этот член, в результате чего получаем приближенно
тр' (а2) = 0, у>' (у2 а2) = 0.
Эти условия требуют, чтобы было а = р0 и у = 1, где р0, как мы помним, есть расстояние, при котором ^ имеет минимум. Условие у = 1 означает, что атомы, расположенные по вертикали выше или ниже некоторого атома, находятся на таком же расстоянии от него, как и его соседи по гексагональной плоскости. Заметим, что это есть в точности такая конфигурация атомов, какой они обладали бы, если бы были твердыми сферами.
С помощью соотношений Коши (которые, очевидно, справедливы в этом случае) и соображений симметрии .можно показать, что плотность энергии имеет следующий вид :
и — у Jcu (s? + s\ + у Si s2 + у S“] + c33 sf +
+ ca (si + + 2 s3 -f 2 s2 s3) I . (12.13)
Ясно, что при отрицательном с^ решетка будет неустойчивой, поскольку в этом случае плотность энергии может быть уменьшена за счет деформации s4 (или s.,)- Если подсчитать вклады отдельных оболочек в величину {2233} [ср. (11.18)], то получается
