Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Р,
ipv-
и2
Р, |я2, ^({pQ-tf2), .
Рассматривая взаимодействия только между ближайшими соседями, мы имеем из (12.21)
Р = 10 У2 9о V" (гё). Q = Щ~ Ро V" (Pi),
Ш „ 2>;2
R
V =
3
4У2
Ро
Ро V" (Ро)>
¦Г (PS),
и.
W -
161'2 Ро
¦V>'(pg), (12.24)
W" (Ро),
172 Глава 3. Упругость и устойчивость
и, следовательно,
\-PV-U* = 24 (у" (й))2, у PQ — R2 = 128 (у" (?э2))2.
Все условия устойчивости в этом случае, очевидно, выполнены, поскольку у''(Ри) > 0 (см. фиг. 25).
Рассматриваемая структура представляет простой случай, когда внутренние деформации вызываются упругими деформациями. Для определения внутренней деформации и мы имеем в данном случае соотношения
0^-~ = Us,+ Vu1,
0 - Г, - Uls, -5s) ; Vu,, (12.25)
Исключая внутренние деформации из выражения (12.20) для плотности энергии с помощью (12.25), получаем энергию деформации
U = Т)(Р - Т2) (S? + SD + 2 {}Р+ Т) sis* + + 2^i®. +
+ R(«5 + Ф + (t - 'y-\s* + 2Rs*Ц- (12-26)
Таким образом, отличные от нуля упругие постоянные равны
п и* 1 г> , л.
С11 — С22 — Р ~у J С12 V ’ Сзэ ^ ’
С13 “ С23 ~ С44 — СВ5 “ R ! С66 —' у Р-----у~ = ~2 ^Сп ‘ О2-2^)
Мы видим, что в этом случае выполняются все соотношения Коши (11.31), за исключением с13 = c6fi. Чтобы выполнялось также и это последнее соотношение, должна, очевидно, обращаться в нуль постоянная U; согласно (12.25), это имеет место лишь в том случае, если упругие деформации не вызывают внутренних деформаций.
Если рассматривать только взаимодействия между ближайшими соседями, то, как видно из (12.24), все постоянные Р, Q, R, U, V, W, а следовательно, и все упругие постоянные пропорциональны у"(р2)- Подставляя (12.24) в выражения (12.27) для упругих постоянных, убеждаемся, что последние находятся в следующих отношениях друг к другу :
^зз ¦ ¦ ^12 - с1з “ 32 : 29: 11 : 8 .
Единственным неметаллическим кристаллом с должной симметрией, для которого известен полный набор упругих постоянных, по-види-
§ 12. Механическая устойчивость простых решеток
173
мому, является берил Be3Al2(Si03)6. Интересно отметить, что, несмотря на его весьма сложную структуру, наблюдаемые отношения между упругими постоянными
с33: си : с12: с13 = 28,6: 32,6 : 1 1,6:8
достаточно близки к вышеприведенным расчетным значениям, а соотношение Коши с13 = си выполняется с большой точностью, как и в рассмотренной выше теоретической модели.
Проведенное выше рассмотрение устойчивости носит в сущности качественный характер1). Так, ввиду короткодействия атом-ных сил было сделано допущение о преобладании сил взаимодействия между ближайшими соседями, означающее, что в равновесной конфигурации расстояние между ближайшими соседями практически равно р„. Кроме того, было сделано предположение, что вторые по близости соседи расположены, по всей вероятности, за точкой перегиба потенциальной функции iр(г2). Эти соображения количественно подтвердил Мизра [5 ] для кубических решеток Бравэ на основе использования потенциальной функции следующего вида :
W{r2)=?{r) = -~-^ (т>п), (12.28)
где первый и второй члены отвечают силам отталкивания и притяжения соответственно. Эта потенциальная функция имеет общий
вид, уже представленный на фиг. 25. Удобно выразить постоянные А и В через минимум энергии — щ и равновесное расстояние <?0; последние связаны с А и В следующими соотпошеиия.ми :
-iv=v4e§) = ~--jr, (12-29)
»0 * С
о ¦-= у (91) = - Y \ А • (12'3°)
^ У О ^ э О
Исключая А и В из (12.28) с помощью (12.29) и (12.30), найдем у, (г*) = и0—"— [ - ( 90Г - -1- f Р"Т1 . (12.31)
r v ' и т — п j т v г j п { г I j ' '
Таким образом, у'(г2) и у>"(г2) имеют вид
ЗМ*Г'+(тГ *!• <1232> 1{<т+2)('гГ "‘-<»+2)(тТ Т <12-33>
з) Более тщательный расчет, учитывающий энергию Ферми для металлов, содержится в работе [9].
174
Глава 3. Упругость и устойчивость
Подставляя (12.33) в выражения (12.4), (12.5) для упругих постоянных сгг и с12 кубических решеток Бравэ, получаем
fiym+4)i2
(п + 2) ( pfl° ) 2 (/? + /а + /.)(п+4)/2 ] ’
- Ш^{(т + 2> (* Г2-
(12.34)
(п + 2) 2 {п + п^2ц
;УП + *).'2
(12.35)
Таким образом, условия устойчивости (12.6) принимают вид
<* + » (гГ? ><»+*> й"? KTTjrW.
