Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
(12.36)
<т + 2)Мт1У_____________П_________У________lUl______К
1 ^ Ч а ) yf* (/’ + я + цут+т (/> + /5 + /|)(т+4)/2/^
(п 4- 2) (—)" ^ ^____1' _____________________________ У________________—'_ -I П? 37^
l-Т- (/i + /i + /!)(n+*>/s --f- (/’ + ц + tiyn+w f ¦ И-ои
Параметр а, характеризующий размер ячейки решетки, определяется условиями равновесия. Благодаря кубической симметрии рассматриваемых решеток условия равновесия (11.14) выполняются тождественно для а ф /3, а для а = @ = 1, 2, 3 сумма (11.14) имеет одно и то же значение. Таким образом, полагая а = (3 = 1 и используя выражение (12.32) для ip'(г2), получаем единственное условие равновесия
Г J?0 тп (— (1о Г _________________________11 I
{ 2va ) (т - п) \ laj (Ц + /? + /=)<т+и/2 1“
.ГМ" у________________ч__________1=0
^ U J т (п + и + пг+2)121
или
§ 12. Механическая устойчивость простых решеток 175
Деля условия устойчивости (12.36) и (12.37) на (12.38), находим
(12.39)
,mL,Jy _ IUI _ | /„.оЛу
(т f 2) //а I я I + 1 ( )
IT (/? + /? + /9<,п+4>/21 ^ Мт W +/3 + Я)|п+«-'21 v Jji^ (v я |
— (/! + /I + /sj(m+2)'2/ I'f’ vi + /1 + /.]г+»/2/
(171 + 2)^ V - - У - lUl 1
Mi- (п + п + кут+*'1* т (/? + /’+ /з)(т+4,'21 ^ т (/i + /a2 + ^)lm ^,/2
(П + 2)( V_____________«________________V___________п_п__________I
Мт (П + П + ПУп+«12 Т Ю + Я 4-^)lnf4>/2/ моит > 7? I ¦ (1 Л4и)
IT W + ^ + ^)ln+2>/2 ]
Эти неравенства, как видим, содержат уже только показатели т, п из закона сил и не содержат значений гг0 и р0.
В силу кубической симметрии решеток, имеем, очевидно, следующие соотношения (р — любое число):
1
Т w + 1*^ 2 ' 3 I- w + Я + ®р!2 3 Т № + « + Я)1р-
-2)/а
? \" 1 I "Я I "?/ — f \-1 I -« I - ¦'/ — { * I -Л I "ч/
и
V______/?Д______ ! V (Ч + Я+®г-П-П-П _
w + я + /»)р/2 6f (/г -г /; +
2
1 X1 1 1 "V ^
(п + п + кур-v:* ~ 2 т v\+~ч + ^)р/2''
Следовательно, все «решеточные» суммы в (12.39) и (12.40) можно выразить через «решеточные» суммы вида
сю>_ V _______1______ S(i)= У________-______(Р4П
(/? J. ti + li)p:2 , Яр ^ (/; +/; +/=)р/2 >
а именно можно записать (12.39) и (12.40) в виде
(-+--) (l-3 S|^) > (п-+-2-) (l-3 S‘>) , (12.42)
(.!?_+ 2) (9 ^ - 1) > (" J2j (9^-1). (12.43)
Значения обоих выражений
Л(р) = (^2)(9^±4- i}, В{р)=[р-\-)[\ -3^_4} (12.44)
вычислил Мизра для различных значений р и для всех трех кубических решеток Бравэ. Эти значения отложены в функции от р
176
Глава 3. Упругость и устойчивость
на фиг. 27. Поскольку т> п, то условия устойчивости (12.42) и (12.43) эквивалентны требованию монотонного возрастания обеих кривых (12.44) с ростом р. Из кривых, приведенных на фиг. 27, видно, что гранецентрированная кубическая решетка всегда устойчива, а простая кубическая решетка всегда неустойчива. Одна из
ных координат. Если в результате решения уравнений движения выясняется, что частоты всех нормальных колебаний вещественны, то решетка устойчива по отношению ко всем малым деформациям; в противном случае решетка неустойчива, так как мнимая частота означает, что система, подвергнутая малому смещению, испытывает экспоненциальную «раскачку» с течением времени вместо того, чтобы совершать колебательное движение около равновесной конфигурации. Мы уже видели, что длинные акустические волны определяются в основном упругими свойствами решетки; поэтому устойчивость по отношению к однородным деформациям лишь подтверждает вещественность частот длинных волн в решетке.
В § б мы ссылались на следующий результат : частоты нормальных колебаний определяются уравнением (6.14)
р=? 2 3 4 5 6 7 S 9 10 11 12 13 14 15
кривых для объемноцентрированной кубической решетки спадает монотонно всюду, за исключением области очень малых р. Поскольку быстро изменяющаяся с расстоянием сила отталкивания в действи-
Р = 1 2 3 4 5 Е 7 8 9 Ю1112 13 14 75 Фиг. 27. Функции А(р), В(р) из (12.44).
тельности соответствует по-14 казателю степени т ~ 10, jg устойчивость этой структу-п ры для атомов с централь-го ными силами взаимодейст-
