Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
С21 С 22 ^23 С24 С26
С31 ^32 С33 С34 С35 С36
С41 С42 С43 С44 С45 С46
С51 С52 С53 С54 С5 5 Сов
L С61 С62 Ссз С64 Сбо С66 _
то, согласно хорошо известной теореме алгебры, эта квадратичная форма является положительно определенной, если положительны детерминанты всех отмеченных пунктиром матриц последовательных рангов (главные миноры).
В данном случае индексы частиц к, к' и т. д. могут быть опущены, и суммирование в (11.18) производится по всем точкам решетки, [см. (12.1)]. Так, если декартовы оси координат выбраны параллельно векторам а1( а2, а3, то находим
{а /? у А} = 2/« h 1у и V’ (я2 (ZJ + 11 + /§)) , (12.2)
где суммирование по l(llt /2, /3) подчинено соответствующим ограничениям 1, 2 или 3 для трех рассматриваемых типов решетки. Величина (12.2) тождественно обращается в нуль, если один из индексов отличен от всех остальных. Рассмотрим случай, когда а отлично от /?, у, к. Члены в (12.2), содержащие 1а = 0, очевидно, равны нулю. Остальные члены всегда могут быть сгруппированы в пары с индек-
11*
164 Глава 3. Упругость и устойчивость
сами L, 1р, 1У, h и —/а, /з, lv, h, поскольку члены каждой такой пары будут одновременно либо оба дозволены, либо оба исключены во всех трех случаях 1, 2, 3 (см. стр. 163). Вклады от членов каждой пары, очевидно, взаимно погашаются, так что выражение (12.2) обращается в нуль. Следовательно, для отличных от нуля коэффициентов либо все четыре индекса одинаковы, либо они образуют две пары одинаковых индексов ; иначе говоря, эти коэффициенты должны быть одного из двух следующих видов :
a) {aa№}=2?-2W(a4l2i + 4 + lD)
. (12.3)
Благодаря полной симметрии рассматриваемых структур по отношению к трем декартовым осям значения как «а», так и «б» не зависят от значения а или /S.
Чегло независимых упругих постоянных для кубических решеток Еравэ то же, что и в случае щелочно-галоидных соединений.
Как уже упоминалось в связи со свойствами последних, из куби-
ческой симметрии следует, что имеются только три независимые упругие постоянные [ср. (11.32)], в качестве которых можно взять cit, ci2, с44- Соотношения Коши требуют, далее, чтобы выполнялось равенство с12 = с^. Эти свойства могут быть непосредственно проверены для кубических решеток Бравэ с помощью полученного выше результата, состоящего в том, что суммы «а», «б» не зависят от декартовых индексов и что все остальные коэффициенты равны нулю. Для независимых упругих постоянных си и с12 имеем
cu = {1111} - ~ 2 ПГ (а2 (II + II + /!)), (12.4)
си = {1122} = ~а- 2/1V" (а2 (II + Щ + Щ)) ¦ (12.5)
Матрица коэффициентов квадратичной формы имеет вид
С11 С12 Cl 2 0 0 0 "
Cl 2 С11 С12 0 0 0
С12 С12 С11 0 0 0 ¦
0 0 0 С12 0 0
0 0 0 0 С12 0
0 0 0 0 0 С12_
§ 12. Механическая устойчивость простых решеток
165
Ее главные миноры равны
С12> С12> С12> С12 С11> С12 (С11 С1г)> с1г(с11 С12)2 (си + 2 с12).
Чтобы они были положительны, должны выполняться только следующие два условия :
L. .С12 0 , Си С12 0 ¦ (12.6)
При суммировании в (12.4) и (12.5) сгруппируем точки простой кубической решетки в соответствии с их расстояниями от начала координат. Точки различных групп расположены в последовательных оболочках с радиусами гл, г2, г3 и т. д. У объемноцентрированной и гранецентрированной кубических решеток некоторые из этих оболочек полностью исключены. Легко проверить, что у объемноцентрированной кубической решетки отсутствуют первая, вторая, пятая, шестая и т. д. оболочки, а у гранецентрированной — первая, третья, пятая и т.д. оболочки. Ниже приведены значения си — с12 и с12, вычисленные с помощью (12.4) и (12.5) :
2 Va / \ ^ Vq
(с11 “ с12> с12
Простая „ „
кубическая 8 у»' (л?) + 16 у>' (г|) + ... О у" (л?) + 16 f" (л|) + ...
Объсмно-
центриро-
В2НН2Я
кубическая 0 у>"(/Ц) 4- 128 у' (г|) + - ¦ ¦ 32у"(л§) + 2561/J,(rt) + ¦ ¦ ¦ Г ранецентри-
кубическая 16у"(л|) + \28ip" (г2) + ... 16y"(/"j;) + 288 у" (/g) + ...
(12.7)
Имея в виду, что самыдш внутренними из имеющихся оболочек в простой, объемноцентрированной и гранецентрированной кубических решетках являются соответственно первая, третья и вторая, мы немедленно обнаруживаем качественное различие между простой и объемноцентрированной решетками, с одной стороны, и гранецентрированной решеткой — с другой ; у решеток двух первых типов самая внутренняя оболочка дает нулевой вклад в одну из двух величин си — с13 и с12. Следовательно, эти решетки будут неустойчивы, если величина у" окажется отрицательной для всех оболочек, кроме самой внутренней. Последнее же является, действительно, наиболее вероятным.
