Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
В выражении для плотности энергии внутренние и внешние деформации связаны друг с другом через члены, содержащие их произведения. Таким образом, если тело упруго деформируется, то при этом, вообще говоря, возникает некоторая внутренняя деформация ; внутренняя деформация такова, что плотность энергии становится минимальной при заданных компонентах упругой деформации sp. Таким образом, векторы и(/:) определяются условием стационарности значения плотности энергии
0 - -5ЙВ “ ? Я мтда*- '11 '27)
Благодаря тождествам (11.20) и (11.22) суммирование правой части этого уравнения по всем значениям Л тождественно дает нуль, так
То есть отвечающими каждому из типов частиц. — Прим. перев.
§ 11. Однородная деформация и упругие постоянные 157
что 3(п — 1) уравнений вида (11.27) взаимно независимы. В соответствии с этим их решения произвольны в том смысле, что ко всем векторам и (к) можно прибавить произвольный вектор без какого-либо изменения уравнений. Иными словами, эти уравнения определяют только разности между различными векторами и (к).
Внутренние деформации могут быть исключены из выражения
(11.26) для плотности энергии с помощью уравнений (11.27). Напомним, что плотность энергии зависит только от разностей между различными и (к), а уравнения (11.27) определяют только эти разности. Поэтому можно, без ограничения общности, положить, и(1) = О как в (11.26), так и в (11.27) и исключить u(fc) (к = 2, 3,..., п)
из (11.26) с помощью 3(п — 1) независимых уравнений (11.27),
соответствующих к = 2, 3, . . ., п. После исключения внутренних деформаций плотность энергии становится квадратичным выражением относительно sf, которое можно записать в виде
и = I У, cv„ se sa (cta = cag). (11.28)
“ ta
Этот результат уже доступен строгому сравнению с энергией деформации, фигурирующей в классической теории упругости. Упругие напряжения Sg определяются производными плотности энергии по упругим деформациям
Se = ^2ceasa. (11.29)
° s9 <т
Эта формула выражает общий закон Гука, состоящий в том, что упругие напряжения являются линейными функциями упругих деформаций ; cga — упругие постоянные.
Если случается так, что упругие деформации не вызывают внутренних деформаций, то плотность энергии (11.26) непосредственно сводится к
и = -L 2 {? Sa ({9o}^{aPyl},Q^>a,p- а-у у, X) .
9а
Таким образом, в этом частном случае упругие постоянные непосредственно даются скобками, определенными в (11.18):
¦ С9а = Са9 = {И {{Qa} {а Р У , {’->а./3; а^уЛ). (П.30)
Мы видели, что максимальное число независимых скобок этого типа равно пятнадцати. Легко проверить, что в этом случае полная симметрия {а у /ЗА} по четырем тензорным индексам приводит к следующим соотношениям между упругими постоянными (11.30):
158 Глава 3. Упругость и устойчивость
Эти соотношения носят название соотношений Коши. Поскольку с!а = сае) в общем случае имеется 21 независимая упругая постоянная ; если же справедливы соотношения Коши, то максимальное число независимых упругих постоянных сокращается до 15.
Точка Р решетки называется центром симметрии, если все частицы решетки можно сгруппировать в тождественные пары таким образом, что партнеры в каждой паре являются зеркальными отражениями друг друга относительно точки Р (другими словами, если решетка инвариантна по отношению к операции инверсии относительно точки Р). Если решетка такова, что каждая ее частица находится в центре симметрии, то упругие деформации не вызывают
внутренних деформаций.Рассмотрим коэффициенты^, /Зу|, определенные в (11.17). Поскольку частица ^ является центром симметрии, то точки решетки могут быть сгруппированы в пары, занятые тождественными частицами, радиус-векторы которых
относительно ^ j равны и противоположны друг другу. Благодаря
тому, что компоненты вектора х ^ входят нечетное число раа
под знак суммы (11.17), вклады партнеров каждой пары в точности
взаимно погашаются, так что коэффициенты j * , /Зу | тождественно
обращаются в нуль. Таким образом, из (11.27) следует, что внутреннюю деформацию можно положить равной нулю. Этот результат легко понять из физических соображений. Вполне очевидно, что частица, находящаяся в центре симметрии, не может испытывать результирующей силы со стороны совокупности остальных частиц. Более того, легко проверить, что центр симметрии остается таковым, если решетка подвергается внешней деформации [ср. (11.1)]. Это означает, что для решетки вышеописанного типа чисто внешняя деформация автоматически оставляет все частицы решетки в равновесии ; поэтому внутренние деформации не возникают.
Следовательно, соотношения Коши будут выполняться, если структура решетки такова, что каждгя ее частица находится в центре симметрии, и если силы взаимодействия между частицами являются центральными.
