Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
с44 = { 2233} = ^-{0v»'(PS) + 6v'(2pS)+ ¦••}, (12.14)
где подставлены значения а = д0, у — 1, va — (]'3/2) pg. Мы видим, что самая внутренняя оболочка, имеющая радиус р0, не дает вклада в си. Из тех же сображений, что и выше, следует, что си, по всей вероятности, отрицательно, и, следовательно, решетка неустойчива. Отношение квадрата радиуса второй из имеющихся оболочек к квадрату радиуса самой внутренней оболочки в этом случае равно 2.
§ 12. Механическая устойчивость простых решеток
16Э
Сравнивая это с (12.9), можно сделать вывод, что устойчивость гексагональной решетки Бравэ столь же маловероятна, как и устойчивость простой кубической решетки.
Прибавляя к каждому атому вышеописанной решетки аналогичный атом, находящийся на векторном расстоянии
от первого, получаем составную решетку с двумя одинаковыми атомами в каждой ячейке. Используя обозначения предыдущего параграфа, можно снабдить первоначальные атомы решетки Бравэ и добавочные атомы индексами k = 1 и 2 соответственно. Атомы, обозначенные индексом 2, образуют аналогичные гексагональные сетки, расположенные посредине между гексагональными плоскостями атомов, обозначенных индексом 1. Их проекции отмечены крестиками на фиг. 26.
Вокруг любой точки решетки с к = 1 расположены оболочки из атомов типа 1, причем квадраты их радиусов равны, как и прежде,
квадраты же радиусов добавочных оболочек из атомов типа 2 равны
Выражение (12.16) дает также квадраты радиусов оболочек из атомов типа 2 вокруг атома типа 2, а выражение (12.17) дает соответствующие значения для оболочек из атомов типа 1 вокруг атома типа 2.
Из симметрии рассматриваемой структуры непосредственно следует, что условия равновесия (11.13) и условия (11.14) для а ±р в этом случае выполняются тождественно. Для а = /3 (11.14) дает два независимых условия
Для существенных в данном случае значений у (см. ниже) первый из выписанных членов имеет наименьший аргумент в обоих вышепри-
3“ а1 + у а2 + 2 аз
(12.15)
а2, у2 а2, (1 + у2) а2, За2 и т. д.,
(12.16)
170 Глава 3. Упругость и устойчивость
веденных равенствах. Поэтому для случая короткодействующих сил .мы удерживаем только этот член и получаем приближенно
у,' + = о , v" (а2) = 0.
Эти условия требуют, чтобы было а = р0 и
I ¦ Vl 1 пли */ (з): 1,633.
Легко проверить, что это значение у отвечает конфигурации, в которой на расстоянии д0 от каждого атома имеются по три атома в каждой из двух гексагональных плоскостей, расположенных непосредственно выше и ниже него. Таким образом, каждый атом имеет двенадцать ближайших соседей на одинаковом расстоянии д0: шесть в его собственной гексагональной плоскости и по три — в каждой из двух соседних плоскостей. Такая структура известна под названием гексагональной плотно упакованной структуры, поскольку она представляет собой расположение твердых сфер при максимально плотной их упаковке.
Благодаря симметрии рассматриваемой структуры большое
число «скобок» (11.16), (11.17) и (11.18) тождественно обращается в нуль, а многие из остальных взаимно связаны. Оказывается, что плотность энергии (11.15) может быть выражена в следующем виде :
и = -у J Р (Sj; -j- sl + у Si s2 + у sj?j + Q s| +
+ R (si + s2+ 2 Si s3 + 2 s2 s3) + 2 U fa u2 - s2 u2 + s6 ux) +
+ V(u*+ul) + Wul\ , (12.20)
)
где через u обозначена разность u(2)—u(l), описывающая внутреннюю деформацию, и
Р = V2 Ро {10 V' (PS) + 16 V»' (2 pg) ч- 81V»* (3 pg) +...},
Q = If р0{ 32 у,' ($ + 32 Г (2 гё) + Ц* у," (3 Роа) + ...),
R =i|-e0{8v"(pg) + 32v'(2pg)+ \\2W"(3gl)+ ... },
u = (4)2 ь 2 V' (el) + 1 б V' (2 Й) - 40 Г (3 р») + ...},
V = ^-|4^"(Р§)+ 16у"(2Ро2) + -^'(2ро2)+ ¦¦¦},
w = ~{\br (й) + + (2р») + ...}.
(12.21)
§ 12. Механическая устойчивость простых решеток
171
В этих выражениях подставлены значения для плотно упакованной структуры : у2 = 8/3, а = р„ и va = у [г3 я3/2 = 1 2 pjj.
Заметим, что деформации sit s5, и3 входят в (12.20) только квадратично. Для устойчивости соответствующие коэффициенты должны быть положительны, т. е. должно быть
R> О, W>0.
Остальные члены распадаются на две группы
~\\Psl + 2Us6u1+ Vujj
и
~2 (Si S2 + "з" sl s2j + Q si + R (2 Si s3 + 2s2 s3)
+ 2 U (Si u2 — s2 u2) + V u|| •
С точностью до постоянного множителя, соответствующие квадратичные коэффициенты имеют вид
(12.22)
Я ¦ 'Up \ я и
г13р р : R -и
R я Q 0
и 0 У
(12.23)
Главные миноры матриц (12.22) и (12.23) равны соответственно
