Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
перекрытию — особенно подчеркивает Сигети [53 ]. В пользу этого
объяснения расхождения говорит то обстоятельство, что оно, как мы убедимся ниже, не затрагивает соотношений (9.19) или (9.30), которые, как мы видели, довольно хорошо выполняются. Кроме того, и априори ясно, что некоторое искажение такого рода должно сопутствовать перекрытию ионов, которое ответственно за силы перекрытия. Поэтому мы должны исследовать, каким образом такие искажения видоизменяют микроскопические выражения для коэффициентов b и как они связаны с отклонением s от единицы.
Поскольку искажения представляют собой просто перераспределения зарядов, наиболее важный эффект может быть описан с помощью дипольного момента, связанного с таким перераспределением. Мы будем рассматривать только искажения, происходящие между ближайшими соседями. Обозначим через т(г) дипольный момент взаимного искажения положительного и отрицательного конов ; т{г) является функцией расстояния между ними г, а знак его выбирается так, что т считается положительным, если момент направлен от отрицательного иона к положительному. Точно так же, как мы это делали для «сил перекрытия» (стр. 128), можно снова рассмотреть положительный ион в начале координат, окруженный своими соседями в точках х(0- Когда положительный ион находится в произвольно смещенном положении х, полный дипольный момент искажения, создаваемый этим ионом и его окружением, может быть, очевидно, записан в виде
|-ш([х(0-х|)[-(т^|^-)]; (9.32)
здесь векторы — {(х(г) — х)/(|х(г) — xj)} суть единичные векторы,
§ 9. Атомная теория длинноволн. опт. колебаний и инфракрасной дисперсии 133
указывающие направления отдельных диполей, которые, согласно принятому нами правилу знаков, направлены внутрь, в сторону положительного иона, находящегося в точке х. Можно свести нашу задачу непосредственно к тому же рассмотрению, что и в случае сил перекрытия, если ввести интегральную функцию у от — т(г), положив
^(r) = -m(r). (9.33)
Легко убедиться в том, что a-компонента дипольного момента
искажения (9.32) может быть выражена через функцию у следу-
ющим образом:
м я
V( [ х(0 — х|). (9.34)
Это выражение идентично выражению (9.23) для полной силы перекрытия, действующей на ион с точностью до замены <р на у. Поэтому можно записать момент искажения по аналогии с (9.22) в виде
— ?х, (9.35)
где q определяется формулой
q = {Г (г„) + {>*' ('о) + , (9-36)
представляющей собой просто переписанную формулу (9.25), в которой ср заменено на у. Таким образом, q определяется как моментом взаимного искажения соседних ионов /п(г0), существующим уже в состоянии равновесия, так и его производной по межионному расстоянию.
При выводе уравнения для диэлектрической поляризации Р мы должны теперь рассмотреть вклад в эту величину, обусловленный диполями искажения. Для относительного смещения (u+ — и~) полный дипольный момент искажения, «окружающий» положительный ион, согласно (9.35), равен
— ?(u+ — и_). (9.37)
Поскольку составляющие диполи в действительности «распределены» между ионом и его соседями, (9.37) непосредственно дает дипольный момент искажения, приходящийся на одну ячейку. Учитывая этот вклад в поляризацию, мы должны, таким образом, заменить (9.7) на
Р = ~{(Ze — q) (u+ — u_) + (ct+ + а_) Еэфф.}. (9.38)
Заметим, что единственным отличием от прежнего уравнения являет1 ся замена Ze на Ze — q ; остальная часть прежнего рассмотрения остается совершенно неизменной. Таким образом, результирующее
134
Глава 2. Колебания решетки
влияние искажения на уравнение для Р состоит в том, что в выражении (9.10) для b21 Ze заменяется эффективным зарядом Ze — q.
Что касается вывода уравнения движения (9.16), то заметим, что силы, действующие на ионы со стороны поля ЕЭфф., не равны более произведениям соответствующих ионных зарядов на напряженность поля. Истинные силы могут быть получены путем применения принципа виртуальной работы. При смещении положительного иона на величину х в присутствии поля ЕЭфф. виртуальная работа, связанная с полем, равна
ЕЭфф. {Ze q) х.
Соответствующая сила, таким образом, равна
{Ze q) Еэфф,.
При смещении отрицательного иона применимы те же рассуждения, что и использованные при нахождении момента искажения для положительного иона ; единственное отличие связано с правилом знаков для пг(г). Таким образом, момент искажения по величине тот же, что и в случае положительного иона, но противоположен по знаку, т. е. равен qx. Из аналогичного применения принципа виртуальной работы следует, что сила, с которой поле ЕЭфф. действует на отрицательный ион, равна
ЕЭфф. ( Ze -)- q).
