Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Расхождение между величинами эффективного поля, действующего на ион, и макроскопического поля в то же окрестности, очевидно, возникает только за счет-вкладов, вносимых в эти поля веществом, находящимся в ближайшем соседстве с ионом. Дело в том, что, во-первых, более удаленные источники зарядов, естественно, не имеют отношения к исключению поля, создаваемого самим ионом; во-вторых, поля, создаваемые такими удаленными источниками, не изменяются заметно в окрестности с размерами ячейки решетки, пока источники расположены на расстояниях, больших по сравнению с постоянной решетки а. Поэтому не приходится различать среднее значение поля и значение его в некоторой заданной точке. В соответствии со сказанным, опишем около рассматриваемого иона сферу радиуса R, большого по сравнению с а, и перейдем к вычислению разности между эффективным и макроскопическим полями, обусловленной веществом, содержащимся внутри сферы.
Для удобства выберем в качестве промежуточного значения такое, чтобы оно было велико по сравнению с а, и в то же время, чтобы макроскопические величины w, Е, Р не изменялись заметно на протяжении размеров сферы. Это возможно потому, что постоянная решетки а должна при макроскопическом рассмотрении считаться бесконечно малой. Пользуясь макроскопическими терминами, можно сказать, что вещество внутри сферы представляет собой однородно поляризованную сферу. Из электростатики хорошо известно, что однородная поляризация Р эквивалентна поверхностному распределению заряда с плотностью, всюду равной компоненте Р вдоль внешней нормали к поверхности. Зная поверхностный заряд, легко вычислить макроскопическое поле в центре сферы. Из соображений симметрии очевидно, что результирующее поле должно быть параллельно Р; таким образом, рассматривая вклады отдельных элементов поверхности, можно учитывать только компоненту поля в этом направлении. Если ввести полярные углы 0,ф с полярной осью в направлении Р, то вклад в поле за счет элемента поверхности R2 sin в d в d <р, очевидно, равен
/'Pcos6/?2sin6d6d®'\ , ч /п о\
I------- ------ I (— cos в) = — Р cos2 QsmddQdq> . (9.2)
Интегрирование по всей сферической поверхности непосредственно
§ д. Атомная теория длинноволн. опт. колебаний и инфракрасной дисперсии 121
дает макроскопическое поле, создаваемое веществом, содержащимся в сфере ; это поле равно, таким образом,
- -у- Р. (9.3)
Далее, мы должны рассмотреть с микроскопической точки зрения эффективное поле, действующее на центральный ион со стороны всех остальных ионов сферы. Нас интересует, разумеется, только поле, возникающее от смещений ионов и от их индуцированных моментов (первоначальное поле, создаваемое несмещенными и неполяризованными ионами, для рассматриваемых структур с высокой симметрией равно нулю); таким образом, можно представить себе на месте каждого иона диполь с моментом, равным сумме моментов «диполя смещения» Ze и и индуцированного диполя [i. В силу предположенной однородности условий на протяжении сферической области все диполи, расположенные в местах как положительных, так и отрицательных ионов, тождественны между собой. В отличие от макроскопического поля, зависящего только от макроскопической поляризации, эффективное поле будет зависеть от детального геометрического расположения диполей. Здесь мы касаемся только таких решеток, в которых каждый ион находится в окружении, обладающем симметрией тетраэдра (смысл последней мы сейчас объясним). Для таких решеток, как мы увидим, эффективное поле, обусловленное находящимися внутри сферы диполями, тождественно обращается в нуль.
Тетраэдральная симметрия относительно некоторого иона означает, что существует такая декартова система координат XYZ с началом в данном ионе, что если имеется местоположение иона с координатами (а, Ь, с), то должны быть идентичные местоположения ионов (т. е. местоположения, занятые ионами того же сорта) в точках (—а, —Ь, с), (а, —Ь, —с), (—а, Ь, —с) и еще в восьми точках, координаты которых получаются из вышеприведенных циклических перестановок а, Ь, с. [Эти точки получаются из (а, Ь, с) с помощью тетраэдральной группы операций относительно начала координат, представляющих собой вращения на угол гг вокруг осей X, Y, Z и вращения в ту или другую сторону на угол 2 л-/3 вокруг диагоналей куба ± X — ±Y = ± Z. Тетраэдральная симметрия структуры означает, что геометрическое расположение остается полностью неизменным, если структура подвергается строго тетраэдральным операциям. Одновременное существование группы из двенадцати перечисленных выше точек, очевидно, следует непосредственно из этого определения. ] Диполь р, находящийся в точке х^а, Ь, с), создает в начале координат поле, равное
122
Глава 2. Колебания решетки
Обозначим через x(i (i = 2, 3, ..12) остальные одиннадцать точек пространства, занятые тождественными диполями ; вклад в эффективное поле, обусловленный группой из двенадцати тождественных диполей, может быть, таким образом, записан в виде
