Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Для квантовомеханических приложений необходимо описывать движение решетки с помощью нормальных координат. Поскольку поперечные колебания не взаимодействуют с зарядами и, следовательно, не представляют интереса в рассматриваемой связи, мы будем ниже игнорировать w(. Рассмотрим конечный объем V, содержащий LxLxL = N ячеек решетки, причем наложим соответствующее периодическое граничное условие. Тогда нормальные координаты могут быть введены следующим образом (по поводу общих методов см. § 38). Представим w, в виде ряда Фурье :
При этом в силу условия периодичности у ограничено значениями
1 V___________ej_^i
2 ф j х/ - xj
(8.40)
у= -L^bi + M' + ftab"),
(8.41)
118
Глава 2. Колебания решетки
где hv h2, ft3 — целые числа в интервале
О "" ft, < 2 (/=1,2,3).
0^ ft, <
(8.42)
То, что вектором поляризации в (8.40) является у/| у |, следует непосредственно из безвихревого характера w;. Чтобы w; было вещественно, должно выполняться равенство
Подставляя (8.40) в гамильтониан (8.39) и выполняя интегрирование по объему V, получаем (опуская w,)
Введем вещественные нормальные координаты ^(у), q2(у), полагая
[в случае у = О, Q(0) само является нормальной координатой ; для простоты мы в дальнейшем не будем выписывать в явном виде члены, содержащие Q(0) ]. При этом у может быть теперь ограничено значениями, лежащими по одну сторону от произвольной плоскости, проходящей через начало координат у-пространства, так что из пары значений у, — у принимается в расчет только одно. Выраженный через нормальные координаты гамильтониан принимает вид
В таком виде гамильтониан может быть непосредственно использован для квантовомеханических расчетов.
Q(y) = -<?*(-у).
(8.43)
(8.44)
Q(y) = yg^{?i(y) + f?i(y)}= - Q*(-y)
(8.45)
х |^’?l(y) j (ту|-Евак. C0S27Ey-xjdr +
+ 2 qe (У) J (j-j- Евак. sin 2 я у • x) d rj. (8.46)
§ д. Атомная теория длинноволн. опт. колебаний и инфракрасной дисперсии 119
§ 9. Атомная теория длинноволновых оптических колебаний и инфракрасной дисперсии
Рассмотрев длинноволновые оптические колебания и инфракрасную дисперсию на феноменологической основе с помощью уравнений (7.1) и (7.2), можно построить атомную теорию этих явлений просто путем вывода этих уравнений из общей атомной теории.
Для настоящей цели мы должны учесть то обстоятельство, которое мы до сих пор игнорировали (см. § 1 и 3), что ионы поляризуемы в электрических полях. Как уже было объяснено в § 3, этим эффектом можно пренебречь, когда ионы занимают симметричные положения, как во многих простых кристаллах, находящихся в состоянии равновесия (или подверженных одним лишь упругим деформациям). Это, однако, уже недопустимо в тех случаях, когда либо имеется макроскопическое электрическое поле, либо ионы смещаются из своих симметричных положений (ибо в последнем случае, как мы увидим, они могут испытывать действие поля даже при отсутствии макроскопического поля). Это и есть в точности те обстоятельства, которые уже намечены в феноменологических уравнениях. Поляризация ионов может быть описана следующим образом. Когда ион подвергается воздействию электрического поля Е, его электронное облако деформируется и приобретает электрический дипольный момент ,и. Если поле не слишком велико, то индуцированный дипольный момент пропорционален полю
(л=аЕ, (9,1)
где а — атомная поляризуемость иона, являющаяся постоянной величиной, пока поле не изменяется заметно в течение периода электронного движения в ионе.
Для вывода феноменологических уравнений мы должны найти для заданных w и Е силы, действующие на ионы, и дипольный момент на единицу объема. Этот дипольный момент обусловлен частично смещениями ионных зарядов, а частично индуцированными электрическими моментами ионов. Когда ионный заряд Ze смещается на и, то результирующий эффект таков, как если бы в несмещенное местоположение иона был введен для компенсации первоначального заряда заряд — Ze, а в смещенном положении возник новый заряд Ze. Таким образом, смещение эквивалентно добавлению диполя с моментом Ze и. С другой стороны, индуцированный электрический момент иона зависит от поля, действующего на ион. Практически это поле никогда не бывает вполне однородным, как это подразумевалось в формуле (9.1); в последующем рассмотрении мы всегда будем брать значение поля в центре иона. Это поле, действующее на ион, мы будем называть эффективным полем.
120
Глава 2. Колебания решетки
Важно понять, что эффективное поле отличается от макроскопического электрического поля. Последнее является не просто полным полем, включающим также и поле рассматриваемого иона; эго — полное поле, усредненное по пространству, занимаемому ячейкой решетки. С другой стороны, эффективное поле, действующее на ион, представляет собой полное поле за вычетом поля, создаваемого самим ионом, причем, как уже было сказано, значение поля берется в центре иона. Нашей первой задачей является вычисление значения эффективного поля.
