Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
ВЫЧИСЛЕННЫЕ И НАБЛЮДЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ* ВЫСОКОЧАСТОТНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ постоянной Еоа ДЛЯ ЩЕЛОЧНО-ГАЛОИДНЫХ КРИСТАЛЛОВ
Li + NaT К + Rb '<¦ CsT
р_ | вычисл..... 1,93 1,72 1.85 1,99 2,21
{ наблюд. ... 1,92 1,74 1.85 1,93 2.59
| вычисл..... 2,72 2,30 2.13 2,18 2.60
\ наблюд. ... 2,75 2,25 2.13 2,19 2,76
gr_ j вычисл..... 3,20 2,62 2,34 2,34 2,78
( наблюд. ... 3,16 2,62 2,33 2,33 3,08
J вычисл..... 4,00 3,13 2.69 2,62 3,03
[ наблюд. ... 3,80 2,91 2.69 2,63
¦Эмпирические дань 1ые взят ы из ра( юты [34 .
Впоследствии, когда мы приступим к исследованию коэффициента Ь1г (или Ь21), мы придем к выводу, что второй член в (9.17) должен быть видоизменен. Действительно, мы установим, что ионный заряд Ze, входящий во все коэффициенты, должен быть заменен некоторым эффективным зарядом, который априори неизвестен. Поэтому мы пока будем рассматривать значение одного лишь первого члена (9.17), исключая второй член путем комбинации (7.7) с выражением (9.18) для Ь12 _
2 ( Е0 — 'j _ U2 _ _Z2 e*/Mva____
*¦ J ” [>-*№)Г
С помощью этого соотношения выражение (9.17) для Ьг1 может быть записано в виде
Ьп = — А + col Ь - —
11 М 3 4л J 3 I к, j.
Фаянс и Иоос [44J пришли к выводу, что закон аддитивности не выполняется для щелочно-галоидных кристаллов; однако их аргументация является ошибочной.
128
Глава 2. Колебания решетки
Исключая атомные поляризуемости с помощью (9.20), получаем выражение для Ьп
Используя равенство (7.6), согласно которому bn = —col, можно привести последнее соотношение к виду, определяющему к :
А = шг/Ч1±2_'| 21)
М V ?оо + 2; v
Установим теперь явную зависимость между к и потенциалами взаимного перекрытия ионов. При смещении всех положительных ионов относительно отрицательных расстояние между вторыми по близости соседями (которые, как нетрудно заметить, везде являются ионами одного и того же сорта) не меняется. Поэтому если пренебречь потенциалами взаимного перекрытия третьих по близости и более далеких соседей, то для смещения этого типа мы должны рассматривать силы взаимного перекрытия одних только ближайших соседей. Таким образом, в этом приближении можно сосредоточиться на рассмотрении одного единственного положительного иона, который можно считать расположенным в начале координат и окруженным своими ближайшими соседями х(г) (г = 1, 2, . . М, где М, как и в § 3, — координационное число), когда решетка находится в состоянии равновесия. Тогда значение к может быть найдено из того условия, что если положительный ион испытывает малое смещение х при фиксированном положении его соседей, то сила, действующая на положительный ион, в этом приближении равна
- кх. (9.22)
Если обозначить потенциал взаимного перекрытия положительного и отрицательного ионов через <р, то потенциал положительного иона в любом положении х, обусловленный соседними ионами, запишется в виде
м
2’ <р (I х I (0 - х |).
t = 1
Таким образом, a-компонента силы, действующей на рассматриваемый ион, равна
м й
(9-23)
/= 1
При малых х это выражение может быть разложено в ряд по х, причем членами второго и более высоких порядков можно
f д. Атомная теория длинноволн. опт. колебаний и инфракрасной дисперсии 129
пренебречь; следовательно, компонента силы (9.23) принимает вид 1=1 р— 1
что может быть записано также в виде
(^7=-lSrw)- <9-24>
Из теоремы, уже упомянутой в связи с тетраэдральной симметрией, следует, что величина
02
^ дха (г) дхр (г) ’’(i*-!)
должна быть изотропным тензором, т. е. должна равняться нулю при a =h j3 и иметь одно и то же значение при а = /3 = 1, 2, 3. Действительно, сопоставляя (9.24) с (9.22), мы видим, что диагональные элементы этого тензора должны равняться к ; таким образом, можно написать
2 Э Ха (О Э Xf{i) 95 ( ! Х (') \)=кд°р-Полагая а = /3 и суммируя по а, получаем
м 3 02
3
Здесь 2' (S2/Эх®(/)) — оператор Лапласа в координатах х(г); по-
а = 1
скольку ф(| х(г) 1) — функция только радиальной величины |х(г) |, то, записав лапласианы в полярных координатах, непосредственно приводим последнее соотношение к следующему простому виду :
Поскольку все отрицательные ионы находятся на одинаковом расстоянии от начала координат, то |х(г) | = г0, где г0 —¦ расстояние между ближайшими соседями, все члены суммы равны между собой, и мы имеем
