Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борн М. -> "Динамическая теория кристаллических решеток" -> 51

Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.

Борн М., Кунь Х. Динамическая теория кристаллических решеток — М.: Ил, 1958. — 488 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakristalicheskihreshetok1958.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 186 >> Следующая


12 _ 12 nv.

Заметим, что все двенадцать точек находятся на одинаковом расстоянии (а2 + Ь2 + с2)Уй от начала координат. Поэтому если подставить в явном виде значения координат этих точек, то мы получим

_ 12__________?__________I_________________v

(а2 + Ьа + с*)’-'» ^ (а2 + Ь2 + с2)‘/з

а {ар1 + Ьр2 + ср3) - а ( - ар1 - Ьр2 + ср3) +

+ а (арг - Ьр2 — ср3) — а (- арг + Ьр2 — ср3) +

+ Цикл, перест. а, Ь, С

Ь (арг + bpz + ср3) — Ь{— арг — Ьр2 + ср3) —

-Ь(ар1- Ьр2 - ср3) + Ь(-ар1 + Ьр2 —сра) +

-(- Цикл, перест. а, Ь, С

с (арг + Ьр2 + ср3) + с {—ар1 - Ьр2 + ср3) -

- с (арг — Ьр2 - ср3) - с (- арг + Ьр2 - ср3) +

-(- Цикл, перест. а, Ь, С

= - 12

+

(а2 + Ь2 -г с2)3 2 1 (а2 -г i2 + с2)3'*

12 (а2 + Ь2 + с2) (а2 + Ь2 + с2)3'* + (а2 + Ь* + с2)5/*

12 р

Pi

Рз

4О2 Pi + Цикл, перест. 462р2 + Цикл. перест. 4с2 Рз + Цикл, перест.

= 0,

где три компоненты второго члена представлены в виде столбца. Таким образом, эффективное поле, создаваемое ионами, находящимися внутри сферы, равно нулю.

Поскольку различие между эффективным и макроскопическим полями обусловлено исключительно вкладами в поле от вещества, содержащегося внутри сферы, можно написать
? 9. Атомная теория длинноволн. опт. колебаний и инфракрасной дисперсии 123

или

Езфф. —Е = 0 — (—-у-р), ЕЭфф. = Е + Р .

(9-4)

Заметим, что это соотношение одинаково для местоположений как положительного, так и отрицательного ионов.

Эффективное поле для более сложных и менее симметричных структур не может быть вычислено столь же просто. В гл. 5 будет дано выражение для общего случая в виде быстро сходящегося ряда. В Приложении VI вышеприведенное соотношение выводится другим способом — из общего выражения путем наложения специального условия тетраэдральной симметрии.

После того, как эффективное поле найдено, остальная часть задачи принципиально проста. Обозначим через u±, ± Ze и а± смещения, заряды и атомные поляризуемости положительных и отрицательных ионов соответственно. Тогда эффективные дипольные моменты ионов обоих типов будут равны

Поскольку на единицу объема приходится 1 jva пар ионов, макроскопическая поляризация Р получается умножением суммы (9.5) и (9.6) на \jva :

Исключая эффективное поле ЕЭфф. с помощью соотношения (9.4), найдем

Разность (u+ — и_), представляющая собой смещение положительных ионов относительно отрицательных, связана с параметром w, которым мы пользовались в двух предыдущих параграфах, соотношением

Выражая (u+ — и_) в формуле (9.8) через w, получаем уравнение, которое можно строго сравнивать с (7.2). Сопоставление этих двух

Ze u+ + а+ Еэфф.,

— Ze u_ + а_ Еэфф.

(9.5)

(9.6)

Р = [Ze (u+ — u_) + (а+ + а_) Еэфф.]. (9.7)

4л а+ + а—

3 va
124

Глава 2. Колебания решетки

уравнений непосредственно приводит к следующим значениям коэффициентов Ь21, Ь22 в феноменологическом уравнении

I + д- '

----4 V-V-- . (9.10)

Когда положительные и отрицательные ионы смещаются относительно друг друга, то вследствие наличия потенциала их взаимного перекрытия возникает действующая на ионы сила, которая для малых смещений может считаться прямо пропорциональной их относительному смещанию (u+ —и_). Таким образом, примем

—/с(и+ —и_) и k(u+ — и_) (9.11)

в качестве соответствующих сил, действующих на положительный и отрицательный ионы. Заметим, что коэффициент к является просто скаляром; это следует из условия симметрии, согласно которому каждый ион находится в окружении, обладающем тетраэдральной симметрией. (Вообще говоря, коэффициент пропорциональности может быть тензором второго ранга, но единственными тензорами этого типа, совместимыми с условием тетраэдральной симметрии, необходимо являются тензоры изотропные, иными словами, эквивалентные скаляру. Доказательство этого приведено в Приложении VI.) То, что силы, действующие на ионы обоих типов, равны и противоположны [см. (9.11) ], непосредственно следует из третьего закона Ньютона. В дальнейшем мы выразим к в явном виде через силы взаимного перекрытия соседних ионов, рассмотренные в § 3.

Учитывая, кроме сил перекрытия, силы, действующие на ионы со стороны эффективного электрического поля ЕЭфф., можно записать уравнения движения для ионов обоих типов в виде

М+ й+ = — к(и+ — U-) + ZeEm., (9.12)

Af_ u_ = /с (u+ — u_) — Ze Еэфф.. (9.13)
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed