Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Выражение в фигурных скобках, очевидно, представляет собой силу, действующую на частицу ^ j , если частицы в решетке испытывают следующие смещения:
<35-3>
Ниже мы вычислим в явном виде ту часть этой силы, которая обусловлена кулоновским взаимодействием между ионами.
Смещения (35.3) индуцируют в ионах электронные дипольные моменты, для которых справедливы те же фазовые соотношения, что и для самих смещений. Если представить эти индуцированные
312
Глава 5. Метод длинных волн
моменты в виде
, (35-4)
то кулоновское поле в решетке оказывается таким же, как в диполь-
ной решетке типа (30.24), для которой
p(*r-) = f.(t'|j) + 7|fw(t'jj), (35.5)
где второй член в правой части описывает дипольный момент, обусловленный смещением ионных зарядов. Таким образом, макроскопическое электрическое поле в решетке равно
Ее2л<Ух, (35.6)
где амплитуда получается подстановкой (35.5) в (30.26):
Кулоновское поле в центре иона представляет собой сумму
следующих двух членов:
1) возбуждающего поля в точке х(к) вышеописанной дипольной решетки
{я„ + 2 Ц/г) [ft (*'! *) + (*'! f)]} , (35.8)
получаемого подстановкой (35.5) в (30.30);
2) изменения поля в центре иона вследствие его смещения,
u7°l = -i-wf к I [см. (35.3)]. (35.9)
въ\К! \тк V IJ
Это поле, очевидно, равно полю, которое создается в точке х(/с) при
смещении всех остальных ионов на — и . Следовательно, оно
равно также возбуждающему полю в точке х(/с) дипольной решетки типа (30.24), для которой
у = 0 [не смешивать с у в (35.9) !] 1
/».\ гол - (35.10)
р(к ) = — ek'U LI для всех к1 I
Подставляя (35.10) в (30.30) и используя затем (35.9), получаем
'ik ps.n)
§ 35. Поляризуемые ионы
313
с помощью (30.26) непосредственно убеждаемся, что член в (30.30),. описывающий макроскопическое поле, в этом случае обращается в нуль].
Полное электрическое поле в центре иона является суммой
(35.8) и (35.11) и может быть, следовательно, записано в виде
{ь + 2 [<?*(?) V- г,л-2 Ц?) <,-] у±г »»(*' IJ) +
+ 2Q.,(iy> (f ]')}<”'¦"«> (35.12)
По предположению, электронный дипольный момент иона пропорционален полю (35.12). Поэтому можно написать
^ (*!/)“'“*i?*+[ / )+
+ 2Q.f(^)f‘f(t' jj)}, (35.13)
где ак — электронная поляризуемость ионов типа к.
На частицу действует двоякого рода сила: .
1) сила, с которой на ионный заряд ек действует поле (35.12),.
«, {Е. + 2 [«41 Ц.)- ькк. 2 <?« (и-) «»-] y=r w> (к' \ /) +
+ 2Q4,{l,k)l‘,(l‘'\,i)}e"^m; (35.14)
2) сила, с которой на диполь (л действует поле всех остальных ионов.
Поскольку дипольный момент линеен относительно смещений частиц, то при вычислении этой силы в гармоническом приближении можно считать, что все ионы находятся в своих несмещенных положениях Подвергнем диполь виртуальному смещению и и рассмотрим виртуальную энергию. Последняя может быть вычислена, как энергия взаимодействия между диполем и тем полем в точке х(/с), которое создается при смещении всех остальных ионов на — и. Используя дипольную решетку типа (30.24) с у = 0 и р(к') = — ек¦ и,
314
Глава 5. Метод длинных волн
легко получаем следующее выражение для виртуальной энергии:
2 У 2 ек' Чц ¦
Следовательно, a-компонента силы, действующей на диполь, равна
-2т ® 2 Ч,. (°.) v = -{?<»• 9.» Ш * (*|?)} •
(35.15)
где мы подставили (35.4) вместо ft и использовали симметричность Qap (^°,) по а, р [см. (30.32)].
Складывая (35.14) и (35.15) и умножая результат на
— ткУг ехр {— 2 л iy х (к)},
получаем полный вклад кулоновского взаимодействия в правую часть (24.10) [см. (35.2)]. Следовательно, в данном случае уравнения для волн в решетке можно записать в виде
иа (J | w,
¦(*17)-
= ^ |С^ ikk) ~ (1Пктк‘У-! К ek'Q‘f> (ftft') —
- 2 ек ек. Qap (ЛУ ]} wfi [к' j -
ек Еа.
Ут w Ь й 6uk'? ?к"Qnf> MW [к'! /) Vm
(35.16)
Уравнения (35.13) и (35.16) вместе с выражением (35.7) для макроскопического поля представляют собой полный набор соотношений для определения колебаний решетки.
Метод возмущений может быть развит вполне аналогично тому,
как это делалось ранее. Вместо разложения для имеем
