Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
С учетом (33.18) это выражение может быть записано также в виде
а = ЛЩ. . (33.26)
j CJ? — СО3
Диэлектрическая поляризация, индуцированная периодическим полем, получается путем подстановки полученного решения [см.
(33.21), (33.23) и (33.26)] и поля (33.20) в (33.5). Используя (33.18), найдем, что индуцированная диэлектрическая поляризация равна
Ра = 2 + / (a/j)j Е„ . (33.27)
Выражение в фигурных скобках представляет собой (а/?)-компо-ненту тензора диэлектрической восприимчивости, из которого мы получаем диэлектрический тензор
В" = 8а? + 4 я [/ (а/?) + 2 • (33-28)
Из (33.19) следует, что члены / = 1, 2, 3 не дают вклада в эту формулу.
Дисперсионная формула (33.28) зависит от коэффициентов / (^j, / |^/?j и / (a/J). Значения этих коэффициентов могут быть
§ 33. Феноменологическое рассмотрение дисперсионной формулы 307
определены путем рассмотрения длинноволновых оптических колебаний решетки и сравнения получающихся уравнений с соответствующими уравнениями теории решетки, которые мы выведем в следующем параграфе. Для длинноволнового оптического колебания напишем следующее выражение вектора смещения:
u (/с) = -L «г(/с)е2л;Ух-,ш'. (33.29)
hk
Электрическое поле и диэлектрическая поляризация, связанные с этим колебанием, даются аналогичными выражениями:
E==gei«.-yx-i.f (33.30)
Р = рс2лгУх-.-ш/. (33.31)
Подставляя (33.29)—(33.31) в (33.4) и (33.5), получаем
(/с) = 2 g (f3 Ъ Ю+ 2 / (» Ё,, (33.32)
Р*=-21[кАт= W' W + 2t №) Е, ¦ (33.33)
кр vp ; кр* р
Электрическое поле и диэлектрическая поляризация связаны соотношением (30.8)
?.= -4я(^)2’(/у'Г)?>. (33-34)
Уравнения (33.32)—(33.34) полностью определяют оптические колебания решетки в предельном случае очень больших длин волн; но, в отличие от рассмотренного в § 7 частного случая (оптически изотропные двухатомные кристаллы), в общем случае решения не могут быть получены в явном виде. Тем не менее следует отметить некоторые общие черты этих решений. Подставляя (33.34) в (33.33), можно выразить ри через вс-личипы wa(k):
pa = -2s (ay) 2 f lkBy) w, (к), (33.35)
У kp '-P 1 \gk
где S(ay) представляет собой (а у)-компопенту матрицы, обратной следующей матрице 3x3:
&ар + 4 л 2 / («У) (-^г) ¦ (33.36)
С помощью (33.34) и (33.35) можно исключить из (33.32) электри-
20*
308
Глава 5. Метод длинных волн
со2 w« (к) = 2 g (^) Щ (к') +
ческое поле:
+ жЫ*") тт (тут) «СЗД/ЭД -тУ Ш')\ (33.37)
Из (33.8) и (33.9) следует, что уравнения (33.37) допускают три независимых решения такого же вида, как (33.16). Вследствие равенства нулю их частоты, они не представляют собой истинных динамических решений. Поэтому, как и следовало ожидать, мы получаем из (33.37) 3(п — 1) колебательных решений, представляющих собой длинноволновые пределы 3(п — 1) оптических ветвей колебаний решетки.
Заметим, что уравнения (33.37) и (33.14) отнюдь не одинаковы; так, частоты оптических колебаний решетки, вообще говоря, не стремятся к дисперсионным частотам в предельном случае больших длин волн. Кроме того, поскольку второй член в правой части
(33.37) зависит от у/| у [, то в общем случае предельные значения частот оптических колебаний, распространяющихся в различных направлениях, не одинаковы. При длинноволновом оптическом колебании каждый элемент объема находится под действием однородного электрического поля, вызываемого диэлектрической поляризацией, связанной с волной ; добавочный член в (33.37) как раз и учитывает влияние этого поля. Однако в некоторых частных случаях, как, например, у двухатомных кристаллов, рассмотренных в § 7, оказывается, что длинноволновые оптические колебания являются либо продольными, либо поперечными ; для последних макроскопическое поле равно нулю, так что соответствующая частота равна дисперсионной частоте.
§ 34. Длинноволновые оптические колебания в ионных решетках (модель жесткого иона)
В методе возмущений оптические колебания отличаются от акустических тем, что для них член пулевого порядка в разложении частоты уже не равен нулю; таким образом, использованное ранее
для со разложение (26.9) следует заменить выражением
ш (7)=ш<0) (/)+е ш<1) U)+" ¦ (34л)
Уравнения теории возмущений различных порядков могут быть получены, как и ранее, путем замены у на еу в основном уравнении
(31.19) с использованием соответствующих разложений для различных величин, входящих в это уравнение. В данном случае нас интересует прежде всего получение уравнений, которые можно
