Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
+ &2' V» + “у») (^) +Еу2 + М (-дЩ} ¦ (37-27)
Из проведенного нами в § 18 рассмотрения следует, что диэлектрическая поляризация должна равняться производной по — Е от свободной энергии единицы объема среды. Имея в виду, что нормировочный множитель должен сохраняться постоянным, и дифференцируя (37.5), найдем, что диэлектрическая поляризация равна
р- = - TT+Wr Ыг) - - Щ ® О' <37'28>
Используя (37.4), получаем, таким образом,
Р*=-------------
|1 +
<¦»•*+“Аж)- (3729)
что, как видим, полностью согласуется с (37.26).
Выражения (37.27) и (37.29) являются общими выражениями для компонент напряжения и диэлектрической поляризации в произвольно деформированном образце при наличии электрического поля.
При заданной температуре Т свободный кристалл (т. е. кристалл в отсутствие как напряжения, так и поля) принимает структуру, для которой свободная энергия минимальна. Соответствующие параметры деформации, которые мы обозначим через определяются, следовательно, условием
f—1
Кдйа/З )й{
.т - = 0. (37.30)
0 — Е = 0
Параметры ujs полностью определяют тепловое расширение; например, коэффициент объемного расширения равен
! 1 + 2UT\'A . (37.31)
Ясно, что число возможных наборов параметров деформации
ua/s(( 1 + U) (1 + U) = 1 + 2UT), согласующихся с одними и теми
же параметрами й^, не ограничено. Условие минимума свободной энергии оставляет совершенно произвольной ориентацию образца)
330
Глава 6. Свободная энергия
а различные наборы иар описывают различно ориентированные образцы. Обозначим произвольно выбранный набор таких параметров через и%р. При рассмотрении свойств кристаллов при заданной температуре Т использование некоторого конкретного набора параметров и?р эквивалентно выбору ориентации образца.
В дальнейшем производные от F, взятые в состоянии свободного кристалла при температуре Т (т. е. при йар = и[?, Ё = 0), будут обозначаться просто значком Т. Так, диэлектрическая поляризация
(37.29) свободного кристалла при конечной температуре Т может быть записана в виде
^P°<r>=-TT7W?(''' + <Hl|r)r- (37'32)
Эта величина известна под названием пироэлектрического момента (более точно, это — сумма пироэлектрического момента и постоянного электрического момента).
При рассмотрении нормальных механических и электрических свойств кристалла мы имеем дело с упругими деформациями и электрическими полями настолько малыми, что напряжение и диэлектрическая поляризация зависят от них практически линейно. Это означает, что при таком рассмотрении упругие деформации и электрические поля можно считать практически бесконечно малыми и соответственно ограничиваться вычислениями с точностью до первого порядка малости. Подвергнем образец при температуре Т упругой деформации, описываемой параметрами say, и действию электрического поля Е, при которых мы можем считать как say, так и Е бесконечно малыми. Разлагая в ряд правую часть (37.27) вблизи значений йаР = йф иар = и?? иЕ= ё = 0 и учитывая (37.30), получаем, в пренебрежении членами порядка выше первого,
5ау = у| 1 + 20т\~у‘ х
х I 2 + “?) + “?) [id^Jk^r + ( a/ilacjr]Айаш +
[ (луааз
+ 2^+ О №»+ “»[(щ^г)т + (1ЙУ J Ё'+
ЕЛ. (37.33)
Поскольку Е — величина первого порядка малости, последние два члена в (37.27) должны были бы сохранить свой вид в (37.33), не считая добавления значка Т у производных F. Однако для удобства
§ 37. Феноменологическое рассмотрение свободной энергии решетки
331
в дальнейшем мы изменили их вид в (37.33) путем введения множителя Кронекера. Соотношение между Л йаа и параметрами упругой деформации spx может быть написано непосредственно с помощью полученного ранее соотношения (37.22); таким образом, имеем
Маш = ~ 2 0V + UJ«) О5*" + “*“) + sv) • (37.34)
рх
С другой стороны, поскольку поле — величина первого порядка, из (37.4) следует, что с точностью до первого порядка
Еа — Еа + 2 uja Ер — “Ь uJo) Ер •
(37.35)
Подставляя (37.34) и (37.35) в (37.33), получаем
5ау 211 +20Т\К \2
2 2 2 Wvr + “?)[('0йвв ад )т +
рХ ftratu
+ ЫЬУг] ^+
+ Y 2 ^ 2 ^a/t + [( dllaa, 9T
Pk fivaoi
9a F
+ (gfllfejrj (df>a + (<5лш + +
+ 2 Ee 2 (d°»+ o №*+ ul)
p ima
(-J— ) +
v 9E„ дйр, IT
1 9?„ Ъй,р ji
+ UJo) +
I 9?„9u,^ )т
+ 2E'2\*«Qr*+^{-w-}4. +
p p L V» вир j T
+ Ы^+<)(-Щ
(37.36)
Переобозначая индексы суммирования Л, /?, а, а через /?, А, ш, о соответственно во второй сумме правой части, можно объединить ее с первой суммой; при этом оказывается, что (37.36) можно записать в виде
