Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 34. Длинноволновые оптические колебания в ионных решетках 309
было бы сравнивать с уравнениями феноменологической теории ; последнее необходимо для определения коэффициентов, входящих в дисперсионную формулу (33.28). Для этой цели нам потребуются только уравнения нулевого порядка
(/М‘Ю = --^?8». (34.2)
Диэлектрическая поляризация, связанная с волной в решетке, выражается в общем случае следующим образом:
<34-3>
Таким образом, в методе возмущений амплитудный множитель выражается в виде ряда
Р(°) + f в ро» + ... , (34.4)
который находится в почленном соответствии с рядом для | .
В частности,
Я<0>=-^^иЯ>(А^). (34.5)
Va k \ тк \ ,1J
Поэтому выражение для Ei°\ получаемое по формуле (31.28), может оыть записано в виде
^ = - 4я(-^-)^(-Ж)Pf . (34.6)
Уравнения (34.2)—(34.6) можно непосредственно сравнить с уравнениями (33.32)—(33.34) феноменологической теории. Частота ш и амплитудные множители Ё и Р в макроскопическом рассмотрении должны быть отождествлены с соответствующим членами
наинизшего порядка coW , Е(0), Р(0) в методе возмущений. Соотношение между wa (к) и 11>® j непосредственно следует из сравнения
соответствующих смещений частиц, а именно й>п(Л)/Ур/Ги J) I'm*.
Имея в виду, что дк = mklva, мы должны, следовательно, отождествить w® ^к \ Jj с v? u’n (к). Учитывая соответствие между со, Е, Р,
v'j w* (к) и , Е(0), Р(0), iv(n0) (А | Jj, заключаем, что уравнения
(33.32)—(33.34) феноменологической теории совпадают с уравне-
310
Глава 5. Метод длинных волн
ниями (34.2), (34.5) и (34.6) при следующих значениях коэффициентов в феноменологической теории :
«га=тщЗзг I га - • <34.7»
<348>
/ («/5) = о. (34.9)
До тех пор, пока мы принимаем, что ионы неполяризуемы, диэлектрическая поляризация полностью определяется положениями ионов и, следовательно, второй член в правой части (33.5) тождественно равен нулю. Таким образом, (34.9) представляет собой только частный результат, вытекающий из нашего допущения о жесткости ионов.
Рассмотрим статический диэлектрический тензор, который получается, если положить а = 0 в дисперсионной формуле (33.28)
Еа„(0) = 4„ + 4л{/(«/?) + 2-м"(№(/!} . (34.10)
Подставляя (33.18) в эту формулу и используя (34.9),. получаем
ev {к I /) е>. (к' \ /') |
Г
(34.11)
Напомним, что величины еа(к"\ /) удовлетворяют уравнениям
*>№ ! /) 2 g (П] ^ (к'! /) ¦ (34-12)
Разделим уравнение (34.12) на со®, умножим его на еу(к | /) и просуммируем по /; используя соотношения ортогональности (33.15), найдем
= 21{ (34.13)
Имея в виду (34.7), можно с помощью введенной в (31.35) матрицы Г записать (34.13) следующим образом:
2 - {к 1)С* - 1!)- = 2 Гы (к' к") д.,а дкк~ : Г,у (к'к). (34.14)
/ * 1 к”а
Пользуясь этим выражением и значением (34.8) для / (^/?}, убеждаемся, что (34.11) сводится к
(0) = I., + ? 2 ^ Г=- г., т. (34.15)
§ 35. Поляризуемые ионы
311
Это выражение совпадает с выражением для диэлектрического тензора (32.19), которое мы получили в связи с акустическими колебаниями. Поскольку для длинноволновых акустических колебаний частота стремится к нулю, то, следовательно, тензором, фигурирующим в рассмотрении акустических колебаний, является статический диэлектрический тензор.
§ 35. Поляризуемые ионы
Как и в § 9, примем, что электронная поляризация иона эквивалентна точечному диполю с моментом, пропорциональным электрическому полю в центре иона.
Если учитывать электронную поляризацию, то уже неудобно рассматривать уравнения (24.10) для волн в решетке путем непосредственного подсчета кулоновской части коэффициентов Са/? ^,] по
формуле (24.7). Дело в том, что смещение одного иона вызывает поляризацию всех соседних с ним ионов и тем самым изменяет энергию их взаимодействия друг с другом (в итоге здесь имеет место взаимодействие многих тел); поэтому становится трудно
получить явные выражения для коэффициентов •
Рассмотрим физическую интерпретацию правой части формулы (24.10). Очевидно, (24.7) можно выразить следующим образом:
( у \ е—2л i у х {к) ^ fOl'\ 2л i ух (J.',) /о с 1 \
С°? [кк’) = ^ U к')е ' <35-1)
Подставляя это выражение в правую часть (24.10), приводим ее к виду
