Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борн М. -> "Динамическая теория кристаллических решеток" -> 128

Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.

Борн М., Кунь Х. Динамическая теория кристаллических решеток — М.: Ил, 1958. — 488 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakristalicheskihreshetok1958.pdf
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 186 >> Следующая


самого на себя, находим, что квадрат расстояния между этими двумя точками равен [см. (22.13)]

1'gvW-n + [*¦(*)-»Ю\}{(Г-п + [^v(ft)-^(*')]}- (36.1)

Таким образом, расстояние между любыми двумя точками решетки полностью определяется следующими параметрами:

gflv — gvfl (метрические коэффициенты), (36.2)

Л1 (к), № (к), № (к) (конуравариантные компоненты вектора X (к)). (36.3)

Иными словами, геометрическая структура идеальной решетки может быть полностью охарактеризована вышеуказанными параметрами.

Рассмотрим произвольную решетку и обозначим декартовы компоненты ее базисных векторов а^ значками вверху; так, а,, = (fli, аI, а3и). Подвергнем теперь решетку внешней деформации, при которой точки решетки смещаются следующим образом:

«а(') Q . (36.4)

Эта деформация эквивалентна изменению базисных векторов от а,, до ар, где последние определяются как

= а“ + 2' и°{> . (36.5)

В самом деле, соответственно новым базисным векторам а,,, точка
320

Глава 6. Свободная энергия

решетки ук J имеет радиус-вектор

*{^к} = 2^' +^(к))Ъ, (Зб.б)

что означает смещение точки на

М/с) “Мл) =2 (/" + 1" (к)) № - а°) = 2 иац 0" + Я" (к)) а* =

= 2и<*Хр{$. (36.7)

в согласии с (36.4). Иными словами, при внешней деформации контра-

вариантные компоненты А''(А) вектора х(/с) не искажаются; кроме

того, поскольку структура решетки в общем случае зависит только от этих параметров и метрических коэффициентов, внешнюю деформацию можно полностью описать, задав изменения метрических коэффициентов. С помощью (36.5) находим, что метрические коэффициенты деформированной решетки равны

= а„ av = 21 № + 2’ и*? Ф (а? + 2' и<* а.) • (36.8)

а у А

Вычитая из (36.8) первоначальные метрические коэффициенты

ё,‘> = 2' а?а;

а

и переобозначая соответствующим образом индексы суммирования, получаем

Л — g,.v = v а“ (unii + + 2’ иуа uYfi) a?. (36.9)

aft у

Таким образом, деформация зависит от параметров ипg только через выражения

Uafl == ~2 Н- Uf]a “I- Ilya Uyflj U^u , (36. 10)

которые, следовательно, можно использовать в качестве параметров, характеризующих внешнюю деформацию. Эти параметры, по определению, симметричны по своим двум индексам; таким образом, имеется в общей сложности шесть независимых параметров этого рода.

Параметры иар, Qafi и компоненты а?, а“ базисных векторов а^, можно рассматривать как элементы матриц 3x3 U, О, А и А соответственно, где верхний и нижний индексы у а“, а“ берутся соответственно в качестве индексов строк и столбцов. В матричных обозначениях равенство (36.5) может быть записано в виде

а = {\ + ща (36.11)
§ 36. Подробная характеристика конечных деформаций

321

(число 1 означает единичную матрицу). Образуя детерминанты обеих частей соотношения (36.11), получаем

\A\ = i(\ + U)A\ = \\+U\\A\, (36.12)

где вертикальные черточки обозначают детерминант заключенной в них матрицы. Заметим, что детерминанты | А | и | А | тождественно

равны [ааа3 ] и ах [ааа3 ]; таким образом, они выражают объем

ячейки соответственно до и после деформации. Отсюда и из (36.12) следует, что | 1 + U | есть коэффициент объемного расширения. Очевидно, что для физически осуществимых деформаций | 1 + U | не может обращаться в нуль. Более того, поскольку любая конечная деформация I/ должна быть построена непрерывным образом из физически осуществимых стадий, в течение которых | 1 + U | не может менять свой знак, имеем

|1+?У[>0. (36.13)

Можно записать (36.10) в матричных обозначениях следующим образом:

U =\{U +U + OU}, (36.14)

где волнообразной линией обозначена матрица, транспонированная к данной. Рассмотрим две деформации U и U' такие, что матрицы U, О', построенные в соответствии с (36.14), тождественны. Таким образом, U и U' удовлетворяют соотношению

(1 + 0)(\ +U)= 1 +2U= 1 +2tf' = (l + U’)(\+U'). (36.15)

Поскольку такие два изменения приводят к одинаковой деформации решетки, то соответствующие деформированные решетки могут различаться только своей ориентацией. Это можно показать в явном виде, рассматривая матрицу

0 = (\ +U')(l +U)-1 (36.16)

[благодаря (36.13) обратная матрица (1 + U)-1 существует], кото-

рая связывает обе деформации

(\ + U') = 0{\ + U). (36.17)

Умножая матрицу (36.16) на транспонированную ей матрицу и
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed