Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
самого на себя, находим, что квадрат расстояния между этими двумя точками равен [см. (22.13)]
1'gvW-n + [*¦(*)-»Ю\}{(Г-п + [^v(ft)-^(*')]}- (36.1)
Таким образом, расстояние между любыми двумя точками решетки полностью определяется следующими параметрами:
gflv — gvfl (метрические коэффициенты), (36.2)
Л1 (к), № (к), № (к) (конуравариантные компоненты вектора X (к)). (36.3)
Иными словами, геометрическая структура идеальной решетки может быть полностью охарактеризована вышеуказанными параметрами.
Рассмотрим произвольную решетку и обозначим декартовы компоненты ее базисных векторов а^ значками вверху; так, а,, = (fli, аI, а3и). Подвергнем теперь решетку внешней деформации, при которой точки решетки смещаются следующим образом:
«а(') Q . (36.4)
Эта деформация эквивалентна изменению базисных векторов от а,, до ар, где последние определяются как
= а“ + 2' и°{> . (36.5)
В самом деле, соответственно новым базисным векторам а,,, точка
320
Глава 6. Свободная энергия
решетки ук J имеет радиус-вектор
*{^к} = 2^' +^(к))Ъ, (Зб.б)
что означает смещение точки на
М/с) “Мл) =2 (/" + 1" (к)) № - а°) = 2 иац 0" + Я" (к)) а* =
= 2и<*Хр{$. (36.7)
в согласии с (36.4). Иными словами, при внешней деформации контра-
вариантные компоненты А''(А) вектора х(/с) не искажаются; кроме
того, поскольку структура решетки в общем случае зависит только от этих параметров и метрических коэффициентов, внешнюю деформацию можно полностью описать, задав изменения метрических коэффициентов. С помощью (36.5) находим, что метрические коэффициенты деформированной решетки равны
= а„ av = 21 № + 2’ и*? Ф (а? + 2' и<* а.) • (36.8)
а у А
Вычитая из (36.8) первоначальные метрические коэффициенты
ё,‘> = 2' а?а;
а
и переобозначая соответствующим образом индексы суммирования, получаем
Л — g,.v = v а“ (unii + + 2’ иуа uYfi) a?. (36.9)
aft у
Таким образом, деформация зависит от параметров ипg только через выражения
Uafl == ~2 Н- Uf]a “I- Ilya Uyflj U^u , (36. 10)
которые, следовательно, можно использовать в качестве параметров, характеризующих внешнюю деформацию. Эти параметры, по определению, симметричны по своим двум индексам; таким образом, имеется в общей сложности шесть независимых параметров этого рода.
Параметры иар, Qafi и компоненты а?, а“ базисных векторов а^, можно рассматривать как элементы матриц 3x3 U, О, А и А соответственно, где верхний и нижний индексы у а“, а“ берутся соответственно в качестве индексов строк и столбцов. В матричных обозначениях равенство (36.5) может быть записано в виде
а = {\ + ща (36.11)
§ 36. Подробная характеристика конечных деформаций
321
(число 1 означает единичную матрицу). Образуя детерминанты обеих частей соотношения (36.11), получаем
\A\ = i(\ + U)A\ = \\+U\\A\, (36.12)
где вертикальные черточки обозначают детерминант заключенной в них матрицы. Заметим, что детерминанты | А | и | А | тождественно
равны [ааа3 ] и ах [ааа3 ]; таким образом, они выражают объем
ячейки соответственно до и после деформации. Отсюда и из (36.12) следует, что | 1 + U | есть коэффициент объемного расширения. Очевидно, что для физически осуществимых деформаций | 1 + U | не может обращаться в нуль. Более того, поскольку любая конечная деформация I/ должна быть построена непрерывным образом из физически осуществимых стадий, в течение которых | 1 + U | не может менять свой знак, имеем
|1+?У[>0. (36.13)
Можно записать (36.10) в матричных обозначениях следующим образом:
U =\{U +U + OU}, (36.14)
где волнообразной линией обозначена матрица, транспонированная к данной. Рассмотрим две деформации U и U' такие, что матрицы U, О', построенные в соответствии с (36.14), тождественны. Таким образом, U и U' удовлетворяют соотношению
(1 + 0)(\ +U)= 1 +2U= 1 +2tf' = (l + U’)(\+U'). (36.15)
Поскольку такие два изменения приводят к одинаковой деформации решетки, то соответствующие деформированные решетки могут различаться только своей ориентацией. Это можно показать в явном виде, рассматривая матрицу
0 = (\ +U')(l +U)-1 (36.16)
[благодаря (36.13) обратная матрица (1 + U)-1 существует], кото-
рая связывает обе деформации
(\ + U') = 0{\ + U). (36.17)
Умножая матрицу (36.16) на транспонированную ей матрицу и