Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
обусловленного изменением поля, испытываемым частицей в результате ее собственного смещения
¦ щ С) = (т*)-н ^ (* | /) ехР 1У х (*)} >
и второго, обусловленного полем, возникающим в результате смещений
Щ (J-) = (Щ-) 1/2 щ [k' j J) ехр [2 ni ух [',)}
остальных ионов. Эти слагаемые описываются соответственно вторым и третьим членами правой части уравнения (31.4). Поле, возникающее вследствие смещений ионов щ , эквивалентно полю
диполей ек- щ Ц,], так что последний член в (31.4) может быть выражен через возбуждающее поле в точке х(/с) дипольной решетки
(31.12). Изменение поля, испытываемое частицей благодаря ее
собственному смещению и равно, очевидно, полю, которое создавалось бы в точке х(/с) остальными ионами при смещении всех их на —U(fe)- Таким образом оказывается, что второй член в правой
части (31.4) может быть выражен через возбуждающее поле в точке х(/с) дипольной решетки (31.7).
Подставляя (31.14) в (31.16) и сравнивая получающееся уравнение с (24.10), найдем, что в этом случае
с- ц.) - <* и+т №+*»¦ * $ * ю -
-(srSiv. «-(«¦)• <3117>
296
Глава 5. Метод длинных волн
Метод возмущений, развитый в § 26, в рассмотренном случае неприменим: из-за второго члена в правой части (31.17) нельзя более
пользоваться разложением вида (26.2), где член нуле-
вого порядка считается не зависящим от у. Чтобы избежать этой трудности, мы оставим вышеуказанный сингулярный член в явном
виде в уравнении волн в решетке и введем вместо видо-
измененные коэффициенты
^ [кк] = С°* (кк’) + 8кк'~т 2 вк' Q°P (ЛГ) - (т/т^Г QaP (**') ¦
(31.18)
Таким образом, запишем уравнение (31.16) волн в решетке в виде
“* Ю (*!/)= Щ (*'! J) - ^ Е.. (31.19)
Заменяя в (31.18) у на е у и разлагая в ряд по е, имеем с a, (JJ) = С$ (кк') + iE 2 С<& (кк') уу +
+ 1**2 С$,А (кк’) yYyx+ ... (31.20)
* У*
Коэффициенты этого разложения можно получить с помощью явного выражения (30.31) для Qa/j Хотя точные выражения этих коэффициентов и не потребуются для последующего рассмотрения, мы все же приведем их здесь для справок
U-) + ,?'•-"«> N«)) -
- Зу.т.т («] х (3| 21)
X ехр ( 2 л i у (ft) (i (It) _ ж (*¦))} _ {/?> -
2’у. (*) У г (ft) о ехр {2 XI у (Л) (х (t) - х (*'))) ,
4 я3
R‘i. '
^ (**¦) = T^w 2 фз Ц-) Ц-) -
“^??ЧНУМ»)- (31.22)
- >т т ь+у, w *.,> о рут)+
+ fr У* (*)» №) У; (*) О' YJf ' j ехр {2л: у (Л) [х№) - х (*'))) ;
§ 31. Акустические колебания в ионных решетках (модель жесткого иона) 297
+ {У- (Л) Уе (Л) + У а (Л) Уу W <V + У° W у* (Л) дру +
+ ур (Л) уу (Л) + уу (Л) Уа (Л) <5а3 + Ун (Л) у* (Л) йву} х
X G' ехр {2л i у (Л) (х (/с) - х (/с'))} ¦ (31.23)
л2 у (/г) М)
Л2 J/
Приведенные коэффициенты разложения очень похожи на соответствующие коэффициенты, рассмотренные в § 26 ; заметим следующее.
С помощью (30.32)—(30.34) находим
Из сопоставления (31.24) с (31.20) непосредственно видно, что коэффициенты разложения C(°p{kk'), C%K{kk') и С$ух(кк') являются вещественными величинами.
В соответствии с вышесказанным из (31.25) и (31.20) следует, что соотношения симметрии (26.3)—(26.5) справедливы также и для С{$(кк'), С?1у(кк') и С%1У>(кк') соответственно.
Умножая (31.17) на Утк- и суммируя по к', имеем
где мы использовали равенство нулю результирующего заряда ячейки. Из этого соотношения следует, что тождества (26.6)—(26.8) справедливы также и для С$(/с/с') и Cfy-(kk').
(31.24)
и
(31.25)
298
Глава 5. Метод длинных волн
Чтобы решить уравнение (31.19), заменим в нем у на еу; для
со (\yj и используем те же разложения, что и в § 26,
а именно (26.9) и (26.10). Напомним, что амплитуда Еа макроскопического поля равна (31.14). Подставляя (26.10) в (31.14), получаем следующее разложение макроскопического поля:
(31.27)
где
^ = (31.28)
Подставляя разложения (31.20), (26.9), (26.10) и (31.27) в уравнение волн в решетке (31.19), получаем следующие уравнения различных порядков теории возмущений:
2C($(kk')wflk' =
k'ti I}
ек
1Гтк
(31.29)
2 С2? (кк') wy = С% (кк') уу wf [к' | У) + ?«,
