Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
теперь разложения
СЯ = С" (ll) +iE 2 ikk’) у, + • • • , (35.17)
Q-* И = Q-0 (*° •) + *е 2 Q% (кк') yv+... (35.18)
§ 35. Поляризуемые ионы
315
Кроме того, мы должны ввести разложение для электронной поляризации
К {к! У) = f‘(0) ik '¦ /) + ' 6 ^(1) ik \ /) + ' ‘' (35.19)
Для оптических колебаний находим, что в нулевом приближении формулы (35.16), (35.13) и (35.7) приводят к уравнениям
[со(0)(/)]2и'“)(Л /) =
= ~ (ттк-У'* [е* вк’ ®аР [кк] ~
— &кк-2 ек ек- Qo,e (kk*)]} Ч0) {к> J) — Ym^ w \вк ®а<3 _
- 2 (?*, (к°г)Ц°>(*'! [I - ??>, (35.20)
^(НЯ = ^М?Ж*'1/)
+
+ ak -ft'0
^k’ ^kk' 2i Qa/l ^k"
(35.21)
??’ “ -4? (ITT) g (туг) И” (*'!/)+ it «г (*' if)!- (35.22)
Разделив (35.21) на ak и введя матрицу R, обратную матрице Зп х Зп, определенной как
0ар окк-
¦ - Qa? Щ , (35.23)
можно переписать (35.21) в виде
(*|J) - 2 2r„W’){<г*(Д)-
+ 2l2R*fi(kk')]E$K (35.24)
Р [ * J
С помощью (35.24) исключаем из (35.20) электронную поляризацию, что дает
316
Глава 5. Метод длинных волн
p0)(y)]2w(0)^|y) =
= ~ (ткт^У1 (fcfc') _ дкк'2ек ек-Q“fi{kk.]\ —
~ ~{ткП1*уТ ^2\екQay(ккJ —Кк' 2ек‘ Q*y (A.r)] X X Ry>. (*1 к2) [Qaj ек- - dktk. 2 ек- Q;.fl (^°г) |[ w?0) (к> | J) +
+ ^\~ Тт^ ба/1 ~ “УтГ l? €к Q°yUJ “ дкк' Щ?к" Qav М ] Х
х 2^ (М')} 40)- (35.25)
Это уравнение можно непосредственно сравнивать с уравнением
(33.32) феноменологической теории.
Амплитуда нулевого порядка для диэлектрической поляризации равна
- V-V 2 Q„ (Д.) <у| yLr + у§= s.,} wf (*¦ |»)+
+ ~2\2R»p{kk’)}Ef. (35.26)
Va p [ fck' J
Соотношение (35.22) можно переписать в виде
?(°> =-4л ( уу':) 2 ( ;^) Pf ¦ (35.27)
Уравнения (35.26) и (35.27) можно сравнивать соответственно с уравнениями (33.33) и (33.34) феноменологической теории.
Напомним, что величины <м(0) (Jj, Е(0), Р(0) и JJ должны
быть отождествлены соответственно с величинами со, Е, Р, v%wa(k) феноменологической теории. Таким образом, уравнения (35.25) и
(33.32) будут совпадать, если
§ 35. Поляризуемые ионы
317
С другой стороны, чтобы уравнение (35.26) совпадало с соответствующим уравнением (33.33), должно быть
по а, /?, так и по к, к'. Это показывает также, что матрица R, обратная матрице (35.23), является симметричной. Имея в виду указанные обстоятельства, легко убедиться в полной эквивалентности выражений (35.30) и (35.29). Кроме того, очевидно, что эти выражения удовлетворяют общим соотношениям (33.8) и (33.9) феноменологической теории.
Метод возмущений может быть без труда развит для длинноволновых акустических колебаний путем параллельного рассмотрения основных уравнений (35.13) и (35.16) на каждой стадии применения этого метода. Однако получающиеся при этом формулы очень громоздки, так что мы не будем рассматривать их здесь в деталях.
Мы приняли, что поляризуемость иона может быть описана скаляром ак (случай изотропии). Отметим, что выведенные выше формулы применимы и в том случае, если поляризуемость иона является тензором (случай анизотропии); мы должны лишь заме-
/ И) =-г-2 (**')¦
Va kUT
(35.31)
Соотношение (30.33) показывает, что Qa/з^,) вещественно; таким образом, из (30.32) и (30.34) следует, что С),ф [ ®,] симметрично как
318
Глава 5. Метод длинных волн
нить множитель 6а/з/ак в первом члене (35.23) тензором, обратным тензору поляризуемости иона к, и соответственно переопределить матрицу R.
ЛИТЕРАТУРА
1. Born М., Atomtheorie des festen Zustandes, 2 Aufl., Berlin, 1923 [см. перевод в книге : Борн М., Гепперт-Майер М., Теория твердого тела, М.—Л. (1938)].
2. Huang К., Proc. Roy. Soc., А203, 178 (1950).
3. Е w а 1 d P. P., Dissertation,-Munchen, 1912.
4. Ewald P. P., Ann. d. Phys., 54, 519, 557 (1917).
5. Ewal d P. P., Ann. d. Phys., 64, 253 (1921).
6. Ewal d P. P., Nach. Ges. Wiss. Gottingen, 55 (1938)
7. Kellermann E. W., Phyl. Trans. Roy. Soc., A238, 513 (No. 798), (1940).
8. Huang K-, Phil. Mag., 40, 733 (1949).
Глава 6 СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ
§ 36. Подробная характеристика конечных деформаций
Рассмотрим любые две точки идеальной решетки (^) и (М.. Вычисляя скалярное произведение вектора
х 0 -х 0=-?а" w"+w) - (*'))}
