Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
и = 2 22 f (* д) иа № Щ {к') + 22 / (*0) и» (А) Ер -
Z кк- ар ка Р v“ 1
~т21М)ЕаЕр, (33.1)
Z ail
где
/Q = /(“)' (33.2)
Вводя массовую плотность частиц к
304
Глава 5. Метод длинных волн
можно записать уравнения движения, исходя из (33.1):
л “¦ <*> = - 8ТШ = - ? •f10 "" <*'> - ? IМ Е> ¦ <334>
Кроме того, дифференцируя плотность энергии по —Е, получаем электрический момент на единицу объема (см. § 18), или диэлектрическую поляризацию
Р*=~4к=-221 И и, 0к) + 2 / («/3) Е,. (33.5)
Состояние внутренней деформации, очевидно, не изменяется, если ко всем смещениям u(ft) прибавить один и тот же вектор s. Отсюда следует, что
и = \221 if/*) (u« (ft) + sa) (щ (к') + s^) +
кк' afi v г/
+ 22 f ikj) («о (ft) + Sa) Е? -\2t («/5) Е, (33.6)
1лг1 \ а\/ 1 °/ Р 9 ____
к ар J * aft
не должно зависеть от s. Из рассмотрения членов, линейных по s, получаем условие
2 2 / Q и/, (ft') + 2 2 / Й = о. . (зз.7)
Поскольку это должно быть справедливо для любых значений
и(к) и Е, получаем следующие соотношения между коэффициентами :
<33-8>
2f$P) = 0- (33.9)
Рассмотрение членов в (33.6), квадратичных относительно s, не приводит к каким-либо новым соотношениям.
Рассмотрим вначале решения уравнения (33.4) в отсутствие какого бы то ни было электрического поля. Удобно ввести вместо смещений u(ft) новые переменные
w (А) = 1^и (А). (33.10)
Таким образом, в этом случае уравнение (33.4) может быть записано в виде
*e(ft) = ~22g[kakp) щЮ, (зз.п)
где коэффициенты g определяются, как
§ 33. Феноменологическое рассмотрение дисперсионной формулы 305
Подставляя в (33.11) периодические решения
w0(*) = (33.13)
найдем, что величины еа(к) и частота со должны удовлетворять уравнениям
(А) = 2 2 g Q ец (*'). (33.14)
Это — уравнения обычного типа, с которыми мы уже неоднократно встречались ; в частности, согласно § 15, эти уравнения допускают
3п независимых решений ш;, еа{к \ /) (/=1,2,..., Зп), удовлетворяющих соотношениям ортогональности
2' 2’ (к ; /) е* (к ! /') = djj.; v (ft : I) ер (ft' J /) = йкк. даР. (33.15)
ка j
Из числа этих решений три, которые мы обозначим индексами / = 1, 2, 3, отличаются от остальных тем, что их частоты coj равны нулю. Таким образом, если u( 1), и(2) и и(3) — любые три взаимно перпендикулярных единичных вектора, то можно положить
e*(k\j) = УрГ ы«(/). = 0. /=1,2,3. (33.16)
С помощью соотношений (33.8) легко убедиться, что эти выражения являются решениями системы уравнений (33.14).
Имея в виду, что смешения и (к) для решения / равны
-j=-ea(k\j)e--l*-i‘,
находим из (33.5), что это решение связано со следующей диэлектрической поляризацией:
М(/) «—¦'“#», (33.17)
где амплитуда равна
ма (/) = -22 / (Ja) -yL е? (к : /). (33.18)
Из (33.9) и (33.16) следует, что
м (/) = 0 при /=1,2,3. (33-19)
Дисперсионную формулу можно получить, рассматривая воздействие периодического электрического поля
Е = Ёе-‘'ш'. (33.20)
Пусть вынужденное колебание решетки имеет вид
и (к) = —L- v/(k) е~'(33.21)
» 9к
20 Макс Борн и Хуан Кунь
306
Глава S. Метод длинных волн
Подставляя (33.20) и (33.21) в уравнение движения (33.4), найдем ЯМ = 22иР%(*0 +J-:21 (ЭДЁ,. (33.22)
Поскольку Зп наборов значений еа(к | 1), еа(к \ 2), . .., еа(к \ Зп) линейно независимы, можно выразить величины iv„(/c) следующим образом :
waW = ±'ajea(k\j). (33.23)
]
Благодаря тому, что еа(к \ j) является решением системы (33.14), соответствующим значению и = и,, уравнение (33.22) после подстановки (33.23) принимает вид
2 К - ш]) aj еа 0к j /) = -у4=- 2 / [kj] Ef> • (33.24)
Умножая (33.24) на ejk \ /') и суммируя по к, а, получаем с помощью соотношений ортогональности (33.15) следующие значения коэффициентов а;:
а, - 2 {22*. (*; /) J - / (»} В,. (33.25)
