Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
k'ti VI/; fc-^v ' I 1 ' (m к
(31.30)
2 C$ (kk') wf [k' [ У) = - 2 СЦА (kk') yy y, wf [k' j П +
kV '¦I '} k-fivk v I П
+ 22CSAkk')yM>{k’'f.) + ¦^ep + 2[.*>(fl]>(*|»).
(31.31)
Нетривиальные решения уравнений нулевого порядка (31.29) имеют тот же вид, что и в § 26
wf[k' ’J) = Утк- щО).
(31.32)
Выражение (31.32) является решением уравнения (31.29) потому, что, во-первых, соотношение (26.6) справедливо также и для С$(кк') и, во-вторых,
После подстановки (31.32) в (31.30) уравнения первого порядка принимают вид
2 ек- = 0.
(31.33)
§ 31. Акустич:ские колебания в ценных решетках (модель ж есткого иона) 299
Вопреки соотношению (31.28) удобно рассматривать Е(Р как независимую величину, так что только явно входящие в уравнения величины {к' | Jj рассматриваются как неизвестные. Таким образом, выражение в правой части (31.34) является неоднородностью. Поскольку (26.8) справедливо также и для С%]у(кк'), находим, что в точности так же, как в § 26, условие разрешимости уравнений первого порядка удовлетворяется тождественно; неоднородность, умноженная на УггГк и просуммированная по к, тождественно обращается в нуль (добавочный член, зависящий от Е<?\ не изменяет положения, так как благодаря электрической нейтральности ячейки он обращается в нуль после умножения на УпГк и суммирования по к).
Сравним (31.34) с соответствующим уравнением (26.18) в неионном случае. Не считая члена, содержащего в первом из них, остальные члены в (31.34) и (26.18) находятся в точном взаимном соответствии и должны быть одинаковым образом интерпретированы. Так, с точностью до множителя 1/fmi, первый член в правой части
(31.34) представляет собой силу, действующую на частицу к благодаря внешней деформации, вызванной волной нулевого порядка ; член в левой части представляет собой силу противодействия, обусловленную индуцированной внутренней деформацией, которая описывается в методе возмущений волной первого порядка. Учитывая также добавочный член, зависящий от Е$\ мы видим, что уравнение
(31.34) описывает равновесие сил в элементе объема, находящемся в состоянии однородной деформации (как внешней, так и внутренней) и подверженного в то же время действию электрического поля. Следует отметить, что вклад в силы, обусловленные деформацией, дает не все кулоновское взаимодействие, а только та его часть, которая отвечает внутреннему полю, рассмотренному в предыдущем
параграфе. Хотя Е^~> и может быть выражено через [к‘ j Jj, но
член, содержащий Е(}\ нельзя интерпретировать как силу, обусловленную внутренней деформацией, подобно члену в левой части уравнения. Дело в том, что в этом случае коэффициенты при
[к' jjj зависели бы от у, что сделало бы интерпретацию бессмысленной.
Выразим решение уравнения (31.34) формально таким же образом, как и в § 26, т. е. построив матрицу Гав(кк'), удовлетворяющую соотношениям
Гар (кк') = 0 , если либо одно из чисел к,к', либо оба равны О,
2 Гар (кк') С<,’!> (к' к") = дау дкк- = 2 с$ (**') г& (*'*")-
Гр k't
(*,*',** = 1,2, 3, ... , п- 1). (31.35)
300 Глава 5. Метод длинных волн
Используя эти соотношения, можно написать
W(i) (к \ У) = - 2 Г., (кк') 2 К: С% (к' к") у, щ (/) +
^ к'а к~Ру
2Га„(кк')12=Еф. (31.36)
let) К Мк’
Если умножить неоднородную часть уравнения второго порядка
(31.31) на Мтк и просуммировать по к, то член, содержащий Я®, выпадет, так как результирующий заряд ячейки равен нулю. Воспользовавшись выражениями (31.32) и (31.36) для решений нулевого и первого порядка, находим, что условие разрешимости может быть записано следующим образом :
(“V'j [Ш<1) ЮГ Ua (/) = 4712 2 2 {[«/5, УЦ + (“У, РЩУуУ>. Щ (/) -
-2n2![2[(l,ay}y.)jE(p, (31.37)
где «скобки» определяются формулами
[«/5, уЦ = 8~1-2 (тк тк')'! Cit, (кк'), (31.38)
(ау, № = 2 2 г„, (кк') (2 с&у (кк") К:) х
чл La кк, /<v \к" j
х ( YC^(kk'")fm^, (31.39)
[/5, «У] = -2-~ 2 Vrnk C[% (кк')\2Г„ (к'к") . (31.40)
* 71 V<1 kk'ft 1 к" V ГПк" J
С помощью точно тех же рассуждений, что и в § 26, находим
\аР,уЦ = [Ра,уЦ = [аР,Щ , (31.41)
(ауМ) = (Уа, РЦ = (РК аУ) • (31.42)
Кроме того, из (26.7) следует
[Р, ау] = [Р, уа]. (31.43)
§ 32. Упругие и пьезоэлектрические постоянные и диэлектрический тензор
