Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
В этом параграфе мы будем считать ионы сферическими и жесткими (неполяризуемыми и недеформируемыми), так что в отношении их кулоновского взаимодействия такие ионы эквивалентны точечным зарядам. Напишем
Ф ф ( кк] = ( fcft') + («;') ’ (3 1 ¦ О
где два члена в правой части представляют собой кулоновский и некулоновский вклады соответственно. Аналогично можно разбить
каждый коэффициент на кулоновскую и некулоновскую
части; последнюю будем обозначать через (^,). В кулоновской части коэффициента а именно
[кк’) еХР Г 2ni У №) Х ( Д)! ’ (31-2)
можно, очевидно, положить I = 0, получая, таким образом, эквивалентное выражение
2 (Д ехр {2 л i ух ([,)). (31.3)
С помощью этого выражения запишем уравнение волн в решетке
(24.10) в виде
0,1 (/ М‘ I J)- с-> И (*" IЛ+ rhr-?(**)¦гкК,(к 1?)+
+1Z ^ И ik * (*•! Я ^ ^
Ввиду существенного различия междуФ^(^)и остальными коэффициентами [см. приведенные ранее явные выражения
(27.28) и (27.29)], члены, содержащие Ф^ , выписаны в (31.4)
§ 31. Акустические колебания в ионных решетках (модель жесткого иона) 293
отдельно, причем штрих у знака суммы в последнем члене указывает, что члены с /' = 0, к' = к следует опустить.
Оба кулоновских члена в (31.4) могут быть преобразованы с помощью результатов, полученных в предыдущем параграфе. Рассмотрим вначале второй член в правой части этого уравнения.
Пользуясь для Ф% явным выражением (27.29), в которое мы
теперь введем /' = —/ в качестве индекса суммирования, найдем, что рассматриваемый член можно записать следующим образом :
У1/ э*
У- ' ' "........'
et
тк
2 2 Y
р I'k" I тк
r^Mk l)
Шк V и
_ ек_ Уть
2 2'^=
А Vm
2 1 1
3 хр j X j fx(k)~ -*(?¦)
У) д‘ 1
i) дха дхр х(ДЧ
(31.5)
x(/t)
Заметим, что сумма в этом выражении равна возбуждающему полю в точке [радиус-вектор ее = *(&)] дипольной решетки, в точке
Ц, j которой помещается диполь
ек'
у;
тк
¦Щ\
(*1Я-
(31.6)
Это расположение диполей является частным случаем расположения (30.24), который соответствует значениям
у = 0 [не смешивать с у в (31.6), который в этой
связи играет роль фиксированного индекса] , (31.7)
Ре (к')
ек'
1'тк
W/I
(*1Я-
Подставляя (31.7) в (30.30), получаем для соответствующего возбуждающего поля в точке
Я-
(31.8)
где член в (30.30), описывающий макроскопическое поле, обращается в нуль, так как (30.26) дает в этом случае
Еа OQ 2 вк- = О
к’
(результирующий заряд, приходящийся на одну ячейку, должен быть равен нулю). Заменяя сумму в (31.5) на (31.8), приводим рассматриваемый член к виду
294
Глава 5. Метод длинных волн
(31.9)
Полагая в (27.28) I = — I', можно переписать эту формулу следующим образом:
Ф°Р (/№')
9а
и.
3 Ха 3 Хр |*|/х (*)-»(?)
ек ек-
З2 1
3 Ха 3 хр ¦GHj x(fc)
. (31.10)
После подстановки (31.10) последний член уравнения (31.4) принимает вид
_ « и. ]у)х
Чти р i-kf ЧШ’ v I/'
X
Э2
3 Ха 3 Хр j ( V
хЮЧ
. (31.11)
х(Л)
Входящая в это выражение сумма, очевидно, равна возбуждающему, полю в точке j дипольной решетки, описываемой формулой (30.24) причем
(31.12)
Подставляя (31.12) в (30.30), найдем, что возбуждающее поле в
I 01
точке равно
Еае*•'»*(*) + uvffc'! J) , (31.13)
Ic',i I \mk’ V \!>
где [см. (30.26) ]
(3U4>
?a= -
Va
Таким образом, член (31.11) может быть записан в виде
Ч/гМ'Ф • <ЗМ5>
§31. Акустические колебания в ионных решетках (модель жесткого иона) 295
Если заменить кулоновские члены их соответствующими эквивалентами (31.9) и (31.15), то уравнение (31.4) принимает вид
* (Я". м ть 3 са И * (*• IJ)+яй ¦> (НП-~ikE¦-?. Q- («•) (*' I / ) • (31 -,e)
Причина тесной связи между уравнением волн в решетке и выражением для кулоновского поля в дипольной решетке довольно очевидна. В гармоническом приближении кулоновская сила, действующая на частицу является суммой двух слагаемых:одного,
