Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Учитывая ограничения, указанные в скобках после вышеприведенных формул, заключаем, что рассмотренный нами перечень охватывает все возможные формы хаУ1,и, кроме
ХаiS,{ia Xnfita3 ¦
В этих не охваченных последними формулами случаях величины х
§ 28. Условия равновесия и дальнейшие соотношения инвариантности 279
связаны с компонентами напряжений следующим образом [см.
(28.14)]:
^11 = *12, 21 = *13, 31 = *12,12 ' *13, 13 |
•^22 = *23. 32 ~ *21, 12 = *23, 23 *21, 21 , (28.22)
*^33 = *31, 13 = *32, 23 = *31, 31 = *32,32 •
Разности между этими компонентами напряжений определяются соотношением (28.11), так как можно написать
5ц S22 = *21, 12 *12,21 1 (28.23)
S22 S33 = Х32,23 *23, 32 ' (28.24)
S33 *^11 = *13,31 *31,1з • (28.25)
Правые части вышеприведенных равенств могут быть после этого выражены через квадратные скобки, если положить в (28.11) соответственно а = Л=2, {j = у = 1 • а = Л = 3, jS = y = 2 и а = Л = 1, /3 = Л = 3:
Su ~ S22 = [22, 11 ] - [ 11, 22] , (28.26)
S22- S33= [33,22] - [22,33] , (28.27)
S33 — S1X = [11,33] — [33, 11 ]. (28.28)
Вводя среднее давление
р = - ~ (Su + S22 + S33) (28.29)
и комбинируя (28.29) с (28.26) и (28.27), найдем, что Su = - Р + у {[22, П]+ [33, 11] - [ 11, 22] - [ 11, 33]}. (28.30)
Легко видеть, что выражения для S?a и S33 могут быть получены с помощью циклической перестановки индексов в (28.30). Из (28.22) следует, что все величины ха^а = —xt,/>,„/) могут быть аналогичным образом выражены через квадратные скобки и среднее давление р.
Наше описание решения станет полным, если привести выражение компонент напряжения S„;(a ф А) через квадратные скобки. Положим в (28.16) а = }. и переобозначим у на а. Согласно (28.13), результат равен Sa;i, откуда
SaA = [ЯЯ, Яа] - [аЯ,ЯЯ] (а ф Я). (28.31)
Поскольку Sayfа может быть выражено через величины xapiYk с'помощью (28.8), мы выразили, таким образом, как Say,/»., так и Sap через квадратные скобки и среднее давление. Эти величины будут решением уравнений (28.3)—(28.5) и (28.7) только в предположении,
280
Глава 5. Метод длинных волн
что решение действительно существует. В последнем нужно убедиться подстановкой в эти уравнения выражений, полученных выше для Sap и Snv,f»L- В действительности оказывается, что эти уравнения не удовлетворяются тождественно; вместо этого в результате такой подстановки получается десять независимых соотношений. Последние и являются, следовательно, условиями существования решения. Поскольку, как ясно из физических соображений, решение должно существовать (т. е. результаты, даваемые теорией решетки и теорией упругости, должны совпадать в предельном случае длинных волн), то эти десять соотношений должны быть тождествами, которые с необходимостью удовлетворяются «квадратными скобками». Эти тождества таковы :
[21,13] = [31, 12] и цикл, перест., (28-32)
[22, 23] - [23, 22] = [33, 32] - [32, 33] и цикл, перест., (28-33)
[33,23] — [23, 33] = [ 11, 23] — [23, 11] и цикл, перест., (28.34)
[22,11] + [33,22] + [11,33] = [11,22] + [22,33] + [33, 11]. (28-35)
Поскольку эти тождества были получены без каких-либо специальных допущений, кроме инвариантности плотности упругой энергии относительно вращения, выражаемой равенствами (28.4) и (28.5), они, очевидно, и должны выражать соответствующие условия инвариантности в теории решетки. Эти соотношения будут, следовательно, автоматически выполняться в любом частном примере.
Кроме десяти соотношений инвариантности, рассматриваемое решение дает также явные выражения для пяти анизотропных компонент напряжения : Sn — S22, S22 — S33, S12, S23, S31 через «квадратные скобки» [(28.26), (28.27) и (28.31)].
Теперь легко понять смысл пятнадцати условий (27.25). Если эти условия выполняются, то, как мы непосредственно находим с помощью (28.26), (28.27) и (28.31), все пять анизотропных компонент напряжения обращаются в нуль и, кроме того, удовлетворяются вышеприведенные десять соотношений инвариантности. Обратно, если приравнять нулю выражения для пяти анизотропных компонент напряжения, то легко показать, пользуясь десятью соотношениями инвариантности, что все условия (27.25) выполняются. Таким образом, условия, объединенные в (27.25), эквивалентны рассмотренным пяти условиям обращения в нуль анизотропных компонент напряжения и десяти соотношениям инвариантности.
Вышеизложенное рассмотрение не дает выражения для давления. Это как раз то, чего следовало ожидать на основании линейного примера, рассмотренного в § 25 ; ясно, что подобно натяжению в линейном примере давление не определяется производными полной потенциальной функции Ф.
