Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Полученный выше результат легко обобщить на случай сложной решетки, в точке которой помещается диполь
р(Я=р(А')е2в,ух^'-¦ (30-24)
Дело в том, что до тех пор, пока рассматривается поле, создаваемое некоторой определенной составляющей решеткой Бравэ к', задача остается той же самой, что и раньше, за исключением того, что для этого поля амплитуда р [ср. (30.1) j равна теперь р(к') ехр {2niyx(k')}. Кроме того, поскольку начало координат составляющей решетки находится в точке х(/с'), для использования полученных выше результатов следует заменить аргумент х на х — х(к'). В этой связи следует напомнить, что Е в (30.23) определяется амплитудой диполя, как в (30.8). Производя вышеуказанные замены в (30.23) и суммируя по различным составляющим решеткам, получаем для кулоновского поля в общем случае выражение
Еа е2Ы у* + У Ур? (к') (J- ylyl~ [ 1 - е- **! у е2- у * +
гр [ а 1 у '
+ R3 ^ н°г (R (х (У - х)) ехр [2я/ у х ([,)] -
Лтт3 р2я/ у X
- - R1 - (Л) + У») (Ур (h) + Ур) X
Л
X G p.8 yW+jMi) ехр [2т у (ft) (х - х (/с'))]}, (30.25)
19 Макс Борн, и Хуан Кунь
290
Глава 5. Метод длинных, волн
где амплитуда макроскопического поля равна
& = (3а26) Функция Нар(х) сингулярна при х = 0. Следовательно, кулоновское поле (30.25) расходится в точках решетки. Рассмотрим,
например, поле в точке ^ j; член с I = 0, к' = к в (30.25) расходится. Это обусловлено, очевидно, вкладом диполя, расположенного
в точке [®1. То, что нам действительно потребуется в дальнейшем, —
’ ГО'»
это поле в точке решетки типа 1^1, создаваемое всеми остальными диполями; это поле Эвальд назвал возбуждающим полем (erregendes Feld). Для получения этого поля в точке вычтем поле, создаваемое диполем, находящимся в этой точке
(30.27)
из члена к' = к, I = 0 в (30.25); это дает
2' р> <*> ‘ы”т тет; {*" <* i 1W - «i> - =
0
яа I — i 0 xl \
-55^ 11(^1 j • (30.28)
f> o'
Разлагая в ряд подынтегральное выражение е~х% легко убедиться» что функция в фигурных скобках регулярна при | х(к) — х | = О-Если ввести функцию
г, х
Н°(х) = -^ [ e~*'dx, (30.29)
х \п J
о
то результирующий эффект вычитания вклада, вносимого диполем, находящимся в точке эквивалентен замене функции Нар(х)
на #?Jj5(x) в члене с I = 0, к’ = к в (30.25). Производя эту замену и подставляя вместо х координаты точки а именно х(к), получаем
для возбуждающего поля в точке выражение
Еа е2Ы y*w+ е™ у * (*> 2 Q* ) Рр (к>) - (заз°)
k'fi J
§ 30. Кулоновское поле в дипольной р:шетке 291
где для удобства в дальнейшем мы ввели обозначение + (ях (/,))ехр [гя/ух^)] -
_ 2 (у«(Л) + у») (у/* (л) + у г) х
/1
X G -) ехр [2г« У Ф) (х (/с) - х (к'))] . (30.31)
При этом подразумевается, что для к’ = к функция Нар(х) должна быть заменена на Н°р(х) в члене I = 0.
Отметим, что вышеприведенное выражение для поля является совершенно строгим, каково бы ни было значение у, хотя только при малых значениях у первый член в (30.30) имеет простой макроскопический смысл.
Коэффициенты Qali удовлетворяют соотношениям
М »•)“«•"•(/*•)• <30-32>
О- и/) = «;•> (30-33)
«*( Д) (30.34)
Соотношение (30.32) непосредственно следует из (30.31). Для доказательства (30.33) заменяем у на —у в (30.31); легко видеть, что
результат равен Q*., (Д,), если ввести /г' = — h в качестве индекса
суммирования в последний член. Соотношение (30.34) .можно доказать с помощью равенства
Н„л (- х) = Hat (х). (30.35)
Для доказательства достаточно рассмотреть, очевидно, только член
R3 HnS (/?х ехр [2тг/ у х (^)| (30.36)
в Q0(3 ¦ Не изменяя значения (30.36), .можно заменить V на — Г.
Отсюда, меняя местами к и к', можно записать результат в виде
К»2 (йх (;/ j) ехр {2» у X (-Г)!. (30.37)
19*
292
Глава 5. Метод длинных волн
Поскольку х = — х из (30.35) непосредственно следует,
что (30.37) равно комплексно-сопряженному от (30.36).
§ 31. Акустические колебания в ионных решетках (модель жесткого иона) [7]
