Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью соотношения симметрии (26.34) для квадратных скобок легко убедиться в том, что величина
day, вх = [а/3, уХ] + [Ру, аХ] — [/ЗА, ау) (27.22)
удовлетворяет уравнению (27.14) и симметрична по первой паре индексов. Таким образом, (27.22) представляет собой единственное решение уравнения (27.14), совместимое с требованием симметрии
(27.15) «а».
Это решение, вообще говоря, не совместимо со вторым требованием симметрии (27.15) «б». Действительно, подставляя (27.22) в
(27.15) «б», получаем условия
[Ру, аХ] — [РХ, ау] = [аХ, Ру] — [ау, РХ]. (27.23)
Обозначая Р, у, а, к соответственно через у, Р, 7 ,а, можно запи-
сать (27.23) как
[ [уР, Щ — [уа, хр] = [Ха, уР] — [Хр, уа] . (27.24)
Складывая (27.24) с (27.23) и имея в виду свойства симметрии (26.34)
квадратных скобок, найдем
[Ру, аХ] = [аХ, Ру]. (27.25)
Как упоминалось ранее, эти условия совместимости должны быть каким-то образом связаны с условием равновесия решетки 2 (стр. 249).
Мы знаем, например, что если коэффициенты Фар действительно
относятся к конфигурации решетки, удовлетворяющей условию равновесия 2, то по физическим причинам (27.10) и (26.31) должны быть тождественны, и тогда (27.25) должно выполняться автоматически.
В предположении, что в решетке действительно отсутствуют напряжения, так что (27.25) выполняется, выражения для упругих постоянных получаются путем подстановки (27.22) в (27.13):
сау, рх = [аР, уХ] + [Ру, аХ] — [РХ, ay] + (ay, РХ) . (27.26)
С помощью свойств симметрии (27.25) легко проверить, что это выражение для Caytpx удовлетворяет как необходимым требованиям симметрии (27.6), так и равенству (27.12).
Легко убедиться, что вышеприведенное рассмотрение неприменимо к ионным кристаллам. Так, пусть ек — заряд иона к ; куло-новское взаимодействие между ионами дает следующий вклад в Ф :
§ 27. Упругие постоянные неионных кристаллов
275
2шин!) ИЭ+«Ш-«(.?)-“(?)
Если обозначить соответствующие вклады во вторые производные Ф через Ф% ^ *,j, то непосредственное дифференцирование (27.27) дает, что, за исключением I = 0, к' = к,
(мг) = (fe к) = “ вк вк‘ 13 дхр~ х }x=x(k'k,) ’ (27‘28)
в то время как для I = 0, к = к'
Ы = (fe J = вк 2 \dxadxp 71Гт}х=х(к|[/) , (27-29)
где штрих у знака суммы исключает член = [ ° )¦ Заметим, в частности, что Ф% определяемое выражением (27.28), спадает
обратно пропорционально третьей степени расстояния
отсюда непосредственно видно, что, например, C(°/j(kk') содержит расходящуюся сумму.
Действительно, следовало ожидать, что вышеизложенный метод неприменим к ионным кристаллам по причине, изложенной в § 25, потому, что в этом случае длинные волны в решетке уже не являются чисто упругими волнами того типа, как волны, описываемые уравнениями (27.7)—(27.10).
§ 28. Условия равновесия (равенство напряжений нулю) и дальнейшие соотношения инвариантности [2]
Остается еще разъяснить некоторые пункты вышеизложенного рассмотрения. В частности, учитывая соотношения симметрии
(26.34), которым удовлетворяют квадратные скобки, найдем, что
(27.25) налагает на эти скобки пятнадцать независимых условий, в то время как из требования равенства нулю напряжений не могло бы получиться больше шести условий.
Поскольку в § 24 в формулировку уравнений не вводилось условие равновесия 2 (стр. 246), то уравнение (26.31) может в действительности описывать волны в решетке, находящейся под действием напряжений [однородных, так как в противном случае нельзя было бы удовлетворить условию (24.3)]. Поэтому ниже мы будем сравнивать (26.31) непосредственно с уравнениями для упругих волн в среде, подвергающейся воздействию системы произвольных однородных напряжений.
18*
276
Глава 5. Метод длинных волн
Итак, рассмотрим упругую среду, находящуюся первоначально под напряжением, и обозначим положение точки в этой среде через х. Пусть рассматриваемая среда подвергается следующей однородной деформации относительно этой начальной конфигурации
(х) = 2’ Чар Хр . (28.1)
р
Плотность энергии и, обусловленная деформацией, может быть выражена в виде ряда Тэйлора
и = 2 Sap Чар -j- -J- U“:' I • ¦ • , (28.2)
ay /9А
где
Say,pX = SpX'OLy • (28.3)
Очевидно, что если деформированная среда подвергается жесткому вращению, то плотность энергии должна оставаться неизменной. Как можно показать [2], из этого требования инвариантности следует, что
Sap = Spa , (28.4)
Sa>. &Ру — Sy>. 8pa -j- Say, pi — Sya, pi. = 0 . (28-5)
Заметим, что величины Sap = (Э«/Эна(3) являются просто компонентами первоначального напряжения в среде [ср. (11.29), где выражение компонент напряжения через плотность энергии дано в обозначениях Фойгта ]. Для среды, в которой нет напряжений, мы должны положить Sap = 0. Тогда плотность энергии становится квадратичной относительно компонент деформации, а Say,ex— тождественным упругой постоянной caVl/u. Мы видим, что в этом случае
