Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
г(л1,л„л»)=“ J ;? Li- e-1««> -«i v + мУ <«(0_х)| <г-2л‘-у wх dx,
ПО * ' ^
нулевой /оП , пч
ячейке 1 о)
где интегрирование могло бы производиться по любой ячейке решетки, но мы выбрали для определенности нулевую ячейку. После перемены порядка интегрирования и суммирования можно для некоторого члена I ввести х' = х — х(/) в качестве переменной интегрирования, причем интегрирование по х' будет, очевидно, происходить по ячейке —I. Следовательно, можно записать (30.13) в виде
S(h1,h2,h3) = ^~2 J + dx',
1 по ! '
- -ячейке (30. И)
где мы использовали равенство величины ехр{—2 л iy(h)x(l)}
§ 30. Кулоновское поле в диполыюй решетке
287
единице (см. § 22). Сумма в (30.14), очевидно, эквивалентна интегрированию по всему пространству; получающийся интеграл легко вычисляется и мы имеем
е<л.Л,А») = ^г J |*с =
V71 по всему ‘ пространству
|^ехр{--?|у(/0 + у]г}. (30.15)
Таким образом, разложение Фурье периодической функции, заключенной в фигурных скобках в (30.12), может быть записано в явном виде
JL v g-ixto-xiv + taiycxw-x) _ 'Vg(Л Л ,h3)e^y(h)* =
!п Т “Т
— Jp -L. е~ I У (Л) + У I* + 2п/ у (Л) х _ ] 6)
а h ^
Равенство (30.16) носит название преобразования тэта-функции. Появлением этого важного преобразования в физике кристаллов мы целиком обязаны работе Эвальда. Очевидно, что ряды в обеих частях (30.16) быстро сходятся при больших и малых значениях р соответственно. Если разбить интеграл в (30.12) на две части и использовать два альтернативных разложения (30.16) для соответствующих подынтегральных выражений
e-i*('>-*iv+wyx«rfp +
Р ( 1 R
j е-(л,/Р,)1у(Л) + у1*+2я/(у(Л) + у)х_1_йр I j (30.17)
то можно путем должного выбора точки раздела R обеспечить быструю сходимость обоих рядов в (30.17). Эта процедура дает мощный метод расчета колебаний решетки в ионных кристаллах1) и некоторых «решеточных» сумм вообще.
Однако метод Эвальда имеет даже еще большее теоретическое значение, поскольку он обеспечивает способ отделения макроскопического поля от истинно кулоновского поля. Вводя для простоты функции
X 00
G (х) = , я (х) = ^ ± Г г-** dx, (30.18)
х fn X J
*) См., например, работу [7].
288
Глава 5. Метод длинных волн
2Р> 15ЖГ [siTyT “Р [- + 2” Н +
можно переписать выражение для кулоновского поля (30.17) в виде Э2 ( 1
ЭХц dXfl | Я 1'а | У
+ R1' Н(R х(/) — х |) ехр [2ni у х(/)] +
+ уо { exp [2т (у (h) + у) х]}, (30.19)
где член h — 0 в (30.17) выписан отдельно, а штрих при знаке суммирования по h означает, что член h = 0 следует опустить. После выполнения дифференцирования поле принимает вид
2 ^ |~ tr ~yf ехр [- “i?- + 2лг‘ У х | +
+ R3 2' Haf, (R (х (/) — х)) ехр [2ni у х (/)] —
i
4я3
R2^a
2’ (у- (h) + У-0 (и* Ф) + У») Х
где
X G ( *^±*1!-) ехр [2ni (у (ft) + у) х]}, (30.20)
<30'21)
Запишем первый член (30.20) в виде двух слагаемых
_ 471 f LP l е2лгух 4:т у Уа УР PJ_ Г 1 _ -л>; у |>/Яа \ я2лг у х
Va \ У ! U X ;) ' va I у |2 *- > ’
(30.22)
где, как видим, первое слагаемое совпадает с макроскопическим электрическим полем (30.7). Следовательно, кулоновское поле
(30.20) можно написать в виде
Еае™у* + е2*‘у* +
+ R3 21 Нар (R (X (/) - х)) ехр [2ni у х (/)] -
I
Л_Э
- Wva 2 (У“ (Л) + У°) (у К (h) + У г) X
X G ( 7111 у (^3+ у ) ехр [2ni (у (h) + у) х] J, (30.23)
где Е дается формулой (30.8). Первый член в (30.23) выражает макроскопическое поле, а остальные члены — внутреннее поле.
? 30. Кулоновское поле в диполъной решетке
289
С чисто математической точки зрения значение выделения макроскопического поля состоит в следующем. Обе суммы (по I и по h) в (30.20) являются регулярными функциями у при стремлении у к нулю ; как ряды они быстро сходятся, и каждый член в этих суммах имеет вполне определенный предел при у = 0. С другой стороны, первый член (30.20) не является регулярной функцией у при у = 0 благодаря присутствию | у |2 в знаменателе. Например, множитель УаУеЦ у [2 не имеет однозначного предела ; его предельное значение целиком зависит от направления, по которому происходит приближение к точке у = 0. Подразделив этот член в (30.22), мы отделили часть, являющуюся, как легко видеть, регулярной функцией у, так как множитель (1 — ехр[—t,z | у |2//?2]} изменяется при малых значениях у, как |у|2, и потому сокращает | у |2 в знаменателе этого члена. С этой точки зрения в окончательном выражении для поля (30.23) первый член, выражающий макроскопическое поле, «поглощает» все, что нерегулярно при у = 0 ; с другой стороны, внутреннее поле, выражаемое остальными членами, является регулярной функцией у и имеет однозначный предел в точке у = 0.
