Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
(28.3) и (28.5) сводятся к соотношениям симметрии (27.6) для упругих постоянных.
Уравнения движения могут быть выведены с помощью функции Лагранжа, построенной исходя из плотности энергии (28.2). Можно показать [2 ], что если рассматривать только члены вплоть до второй степени относительно волнового числа, то волновое уравнение будет таким же, как (27.10), но только с упругими постоянными cayip>., замененными на Saytpx:
? СО2 йа = 4л2 2’ { 2 Say, рх у у у>.} lip. (28-6)
р уА
Отличие настоящего случая от случая отсутствия напряжений заключается не столько в волновом уравнении, сколько в различных соотношениях симметрии, которым должны удовлетворять величины
Say,ft А.
Сравнение (28.6) с уравнением (26.31) для волн в решетке дает Say, рх + Sax, ру = 2 [а/3, уХ] + (ау, /ЗА) + (аХ, /Зу) . (28.7)
§ 28. Условия равновесия и дальнейшие соотношения инвариантности 277
Соотношение (28.7) вместе с требованиями симметрии (28.3)—(28.5) может рассматриваться, как система уравнений, определяющих Sap И Sny,pX.
Вместо Say,i>x удобно ввести новые неизвестные хир,ух, определенные следующим образом :
s°v. = { [аР> уЦ + [Ру, аЧ — [РЪ аУ] + (аУ, РЩ + Xap.yi . (28.8)
Мы видели в предыдущем параграфе, что выражение в фигурных скобках удовлетворяет уравнениям вида (28.7) и, кроме того, симметрично в индексах а и у. Отсюда, подставляя (28.8) в (28.7), найдем
Хар, уХ = — Хар, Ху . (28.9)
Таким образом, величины хар,ух должны быть антисимметричны в последней паре индексов. Соотношения симметрии (28.5) требуют, чтобы
SaX ^Зу SyX а "I- Хар, уХ Хур, аЛ = 0 , (28.10)
и соотношения (28.3) принимают вид
Хар.уХ + [Ру,аЦ —'[РЛ,ау] = Хца.ху + и, Ру] — [ау, /ЗА] . (28.11)
Для /3 = у ф а (28.10) сводится к
SuX = Xftp,aX — Хар,рх (Р ф О.) . (28.12)
Таким образом, выражение в правой части должно быть независимым от р, пока р ф а. При ц^д можно положить р — а в послед-
ней формуле, что дает
SaX == ХхХ, аЛ ХаХ, XX Ххх, аХ (^ А) , (28.13)
где хах,хх равно нулю в силу требования антисимметричности (28.9). При а = л первый член в (28.12) равен нулю по той же причине, так что
Saa = — Хар, pa (Р Ф а) • (28.14)
Это, конечно, означает, что хар,ра не зависит от Р, если Р ф а.
Теперь, когда мы выразили все компоненты напряжения S„h через величины x,IV,px, перейдем к определению последних. Ясно, что из четырех индексов величины xriy,,u по крайней мере два должны совпадать. Рассмотрим решения для ха-.,рх в соответствии с положениями, занимаемыми парой тождественных индексов:
а) хар,уу. Из соотношения антисимметричности (28.9) для последней пары индексов непосредственно следует
хаг,,уу = 0. (28.15)
б) хаа,ух. Полагая р — а в (28.11), найдем с помощью (28.9)
Хаа,ух = [аА, ау] — [ау, аА] . (28.16)
278 Глава 5. Метод длинных волн
в) Ха/з./зд. Налагая ограничение а ф 7, а^(3, можно скомбинировать (28.12) с (28.13), что дает
XafJ, /U — ^SaX , ах Ххх, а/ (а X , (1 - /3) .
Оба члена в правой части имеют вид, описанный в случае «б»; таким образом, путем соответствующего переобозначения индексов в (28.16) можно выразить правую часть последней формулы через квадратные скобки
Хар,рх = [РХ, Ра] — [^а,р.Я] — [XX, Ха] [Ха, XX] (a ф X, a ф /?) .
(28.17)
г) хар'Ур. Ввиду антисимметричности х по последней паре индексов, этот случай сводится к предыдущему. Таким образом, пере-обозначая Л на у в (28.17), найдем для а-фу, а ф (3 :
Ха0,ур = — ХаЦ'Ру = - [Ру, Ра] + [Ра, Ру] + [уу, уа] - [уа, уу]
(афХ,афР). (28.18)
д) хар, уа. Полагая 7. = а в (28.11), имеем
XaPlYa + [Ру, аа] — [Ра, ау] = Хца,ау + [аа, Ру] — [ау, Ра] . (28.19)
При р ф а и Р у величина х$а>пу в правой части имеет вид, опи-
санный в случае «в», и может быть, следовательно, исключена с помощью (28.17) (переобозначим а, р, А через Р, а, у). Таким образом, получаем
Xaii.ya = [аа, Ру] ~ [Ру, аа] - [уу, уР] + [уР, уу] (@фа,Р фу) .
(28.20)
е) Хардах. При Р a, j3 ф А можно свести этот случай к предыдущему с помощью соотношения антисимметричности (28.9):
хив,яХ = — хал,Хп = — [еш, рх] + [рх, аа] + [XX, ХР] — [Хр, XX]
(Р Ф а, Р ф X), (28.21)
где использовано (28.20) с у, переобозначенным на 7.
