Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
соответственно однородной и неоднородной частям (26.15). Соответствующие однородные уравнения тождественны уравнениям нулевого порядка (26.11). Поскольку уравнения нулевого порядка имеют решения вида (26.14), где все три компоненты t:(/’) произвольны, легко видеть, что условие разрешимости (26.17) сводится в этом случае к требованию равенства нулю результата суммирования по к неоднородной части (28.18), умноженной на 1/гпк, т. е.
V { V (т, тк.) ‘4 Cit (кк’)} щ (/) = 0. (26.19)
ру кк'
Благодаря равенству (26.8) это условие выполняется тождественно.
Прежде чем обсуждать решение уравнения (26.18), полезно отметить, что это уравнение имеет интерпретацию, тесно связанную с однородной деформацией решетки. В пределах области, малой по сравнению с длиной волны длинной волны, решетка находится практически в состоянии однородной деформации. Таким образом в пределах такой области смещения частиц, отвечающие волне первого порядка
и® (х) = ~ wg» {к \ f) е-л''' у* = иа (/) е2л ' *у* , (26-20)
1Imi, V , I)
могут быть описаны с точностью до первого порядка однородной деформацией типа (11.1) (т. е. чисто внешней дефор(мацией), причем параметры этой деформации равны
Ua" = VxJ = 2 71'е У* Ua W «2л,Еух > (26.21)
где экспоненциальный множитель можно считать постоянным в пределах рассматриваемой области. С помощью (26.21) можно записать (26.18) в виде
ф',р (wr) и(^ (к) = — ^ Фац (w) {~ 2 иРу Ху , (26.22)
где
up (к') = [к'; J) е2*!'у* . (26.23)
Очевидно, что (26.23) выражает смещения частиц, отвечающие волне первого порядка [т. е. той части волны, которая связана с членом первого порядка в (26.10)]. Легко видеть, что правая часть (26.22) представляет собой силу, действующую на частицу к благодаря внешней деформации (26.21). Формула (26.23) выражает некоторые жесткие смещения (экспоненциальный множитель считается постоян-
268
Глава э. Метод длинных волн
пым в рассматриваемой области) составляющих решеток Бравэ и описывает, таким образом, состояние внутренней деформации (см. § 11). Левая часть (26.22) представляет собой взятую с обратным, знаком силу, действующую на частицу к благодаря этой деформации. Таким образом, формула (26.22) утверждает, что силы, возникающие за счет деформаций обоих типов, должны взаимно уравновешиваться.
Теперь становится ясной интерпретация уравнения (26.18): волна нулевого порядка подвергает каждую локальную область решетки практически однородной внешней деформации. Волна первого порядка, которая дается решением J у ) уравнения (26.18),
описывает возникающую при этом для поддержания внутреннего упругого равновесия внутреннюю деформацию. Таким образом, уравнение (26.18) является точным аналогом уравнения (11.27), которое определяет внутреннюю деформацию решетки, подвергающейся заданной однородной упругой деформации (равной внешней деформации), в частном случае центрального взаимодействия.
Подобно неоднородной части однородная часть (26.18), будучи умножена на }!гпк и просуммирована по к, дает нуль. Отсюда следует, что если умножить (26.18) на У'тк и просуммировать по к, то получающееся уравнение удовлетворяется тождественно. Это показывает, что из п уравнений (к = 0, 1, . . ., п — 1) для заданного значения а. только п — 1 могут быть независимыми; поэтому в дальнейшем мы можем рассматривать только 3(п — 1) уравнений с индексами а =1,2,3; к = \,2,...,п — 1. Это тесно связано с тем, что мы всегда можем прибавить к решению неоднородного уравнения любое решение соответствующего однородного уравнения. Ввиду этого последнего обстоятельства можно принять без ограничения общности, что
w»>(0|J) = 0, а = 1,2,3. (26.24)
Действительно, этого всегда можно достичь путем прибавления или вычитания соответствующего решения вида (26.14); любое вызванное этим отличие может быть включено в волну нулевого порядка.
Таким образом, (26.18) сводится к системе 3(п— 1) уравнений с 3(п — 1) неизвестными. Вообще говоря, эти уравнения независимы; иными словами, (Зп —3) х (Зп —3) матрица С($(кк')(к, к' = I,... , п — 1 и а = 1, 2, 3) несингулярна. Обозначим обратную ей матрицу через Г(3п'3); элементы последней, по определению, удовлетворяют соотношениям
V ПЗГ3) (МС) С% 0к' к") = дкк- 8аР = V с$ (кк') Г);?- » (к’ к"). (26.25) к',1 k'fj
§ 26. Длинноволновые акустические колебания
269
Умножая (26.18) на Г** 3(k"k) и суммируя по а = 1,2,3, k = 1, 2, . .. , п — 1, получаем
П—1 П—1
vW '
(к" *) = -2 2 пг з) (Г к) 2 214' С#,„ (кк') уу щ (/).
v. IJ 1 (1 ^=0 ру
(26.26)
Формально удобно ввести Зп X Зп матрицу Г, «окаймляя» матрицу р(зл-з) нулями следующим образом:
