Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Беря комплексно-сопряженное от (24.7), имеем
И = Ц-) ‘ЫМ- «4-13)
Подставляя (24.12) в (24.13) и вводя V = —I в качестве индекса суммирования, сразу находим
С* { У ) _ ехр {— 2 я I у [х (*') - х (ft)]} (V \ 2mY„n _с ( у ^
L[kk'j ~ (тк ткЩ [к’ к)в Lt>a [k'kj '
(24.14)
Выражение Сар определяет матрицу Зп х Зп с индексами (а> к), (Р, к'); из (24.14) видно, что эта матрица эрмитова. Следовательно, согласно известной теореме алгебры, все решения он2 jjj
уравнения (24.8) [секулярное уравнение матрицы веществен-
ны. Это показывает, что колебательные частоты должны быть либо вещественными, либо чисто мнимыми. Как мы видели в § 12, чтобы значения ш2 были положительны (а, следовательно, частоты вещественны), все главные миноры матрицы должны быть поло-
жительны; чтобы решетка была устойчивой, должно выполняться то же условие.
Эти решения уже обсуждались довольно подробно в § б. Мы видели, что можно использовать вещественную часть комплексных решений (24.5) для представления вещественных волн в решетке и что все различные независимые волны в решетке могут быть получены, если рассматривать только положительные частоты
и значения у в пределах соответствующим образом выбранной области объема l/vQ в обратном пространстве. Можно выбрать, например, область, ограниченную углами (щ, rj2l rj3) = (-J- Va. ± Va. iVa). где каждую комбинацию знаков следует брать поочередно.
Поскольку
С:-Ц-)=С-'0- (24Л5)
а ы2 всегда вещественно, то, беря комплексно-сопряженные от
(24.9) и (24.10), найдем
"2@1
-Mw3i=0 (24Лб)
<24л7)
§ 25. Несостоятельность метода однородной деформации
259
Из этих уравнений видно, что можно выбрать
"(7)=“(/)¦
“у) = (ftjj) . (24.18)
Таким образом, вещественные волны решетки и ^ представляют собой две тождественные синусоидальные волны, бегущие соответственно в направлениях у и —у.
§ 25. Несостоятельность метода однородной деформации и метод длинных волн
Рассматривая однородные деформации, мы получили в § 11 упругие постоянные для моделей решетки, в которых частицы взаимодействуют друг с другом центральными силами. В общей теории уже нельзя более использовать ту же самую процедуру, так как в общей теории невозможно записать плотность энергии при однородной деформации. Так, если выразить Ф в виде ряда Тэйлора по смещениям (11.2), то мы увидим, что не существует способа нормировки этого выражения на конечный объем. Иными словами, мы получаем таким путем только расходящееся выражение, из которого не может быть выведена обусловленная деформацией конечная плотность энергии.
Чтобы лучше понять эту трудность, рассмотрим формализм общей теории, используя в качестве примера рассмотренную в § 5 линейную цепочку. В этом случае потенциальная функция выражается формальной суммой
2ч>( \х,-хг ), (25.1)
* I 1'Ф1
где X/, х,- — координаты частиц / и V, измеренные вдоль длины цепочки. Исходя из стандартной конфигурации, при которой частицы находятся на равных расстояниях друг от друга с интервалом s/2, вычислим производные Ф по координатам частиц. Путем прямого дифференцирования выражения (25.1) находим, что первые производные Ф равны нулю; это является выражением того очевидного факта, что при такой однородной конфигурации все частицы находятся в равновесии. С помощью дальнейшего дифференцирования легко находим, что вторые производные Ф зависят только от <p"(s/2), третьи производные — только от <p"'(s/2), и т. д. Важно отметить, что все производные Ф не зависят от <p'(s/2). Таким образом, вели-
17*
260
Глава 5. Метод длинных волн
чина <p'(s/2) полностью «ускользает» из формализма общей теории, в которой решетка описывается только с помощью производных от Ф.
При однородном растяжении решетки, когда s переходит в s + <5 s, энергия, отнесенная к одной ячейке, содержит член
*SV' (у)- (25.2)
Поскольку такую величину принципиально невозможно выразить в рамках общей теории, едва ли удивительно, что в общем случае мы не можем получить однозначного выражения для плотности энергии.
Более того, из этого примера видно, что условие равновесия 2 (стр. 249) не может быть написано в явном виде в общей теории. В самом деле, как мы видели в § 5, натяжение в цепочке равно (p\sj2), поэтому условие равновесия должно было бы иметь вид
П-й=°-
В двух последующих параграфах мы покажем, что этих трудностей можно избежать, рассматривая длинноволновые акустические колебания решетки. Основная идея проста: поскольку при выводе уравнений движения (24.4) было наложено только условие равновесия 1 (стр. 249), то соответствующие длинноволновые акустические волны в решетке при y->oj должны представлять
