Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Весьма аналогично положение, с которым мы сталкиваемся при рассмотрении упругих свойств ионных решеток. Чтобы пользоваться уравнениями Максвелла, необходимо ввести диэлектрическую поляризацию, равно как и макроскопическое поле. Таким образом, вместо закона Гука, связывающего • компоненты упругой деформации и напряжения, для рассмотрения упругих свойств ионных решеток нам требуются определенные соотношения между четырьмя типами параметров, описывающих соответственно упругие деформации и напряжения, макроскопическое электрическое поле и диэлектрическую поляризацию. Требуемые соотношения, принятые в макроскопической теории, имеют следующий вид :
= 2' срп sa - 2' ер9 Ер, (25.3)
а р
Pa = ±'eafsf + (25.4)
9 (3
где обозначения те же, что и в части I (Sf, sg — компоненты напряжения и деформации с индексами Фойгта, Р — диэлектрическая
поляризация, Е — макроскопическое поле).
Второй член первой части (25.3) выражает пьезоэлектрическое напряжение, обусловленное макроскопическим полем Е ; первый член правой часта (25.4) выражает пьезоэлектрическую поляризацию, обусловленную упругой деформацией sr Параллелизм между этими уравнениями и феноменологическими уравнениями § 7 очевиден ;
единственное различие состоит в том, что здесь мы рассматриваем
упругие деформацию и напряжение вместо внутренней деформации и соответствующей возвращающей силы, рассмотренных там.
§ 26. Длинноволновые акустические колебания
263
Пьезоэлектрические члены в уравнениях (25.3) и (25.4) связывают механические параметры sp и Sv с электрическими параметрами Р и Е. Следовательно, упругие свойства ионных решеток не могут рассматриваться в отрыве от электрических эффектов, и теория упругих свойств необходимо связана с теорией пьезоэлектрических и диэлектрических эффектов.
Если применить метод однородной деформации к конечному образцу ионного кристалла, то за счет индуцированной пьезоэлектрической поляризации возникает макроскопическое поле, зависящее от формы образца. Отсюда следует, что мы не можем применить этот метод к модели бесконечной решетки. В принципе можно было бы корректно развить атомную теорию, применяя метод однородной деформации к конечному образцу заданной формы (при некоторых специальных допущениях в отношении сил) и интерпретировать результаты с помощью уравнений (25.3) и (25.4). Однако гораздо более приемлемой альтернативой является разработка метода длинных волн специально для ионных решеток. Для этой цели необходимо, с одной стороны, получить упругие волны из макроскопической теории, учитывая должным образом пьезоэлектрическую связь, т. е. используя (25.3) и (25.4) вместо обычного закона Гука; с другой стороны, мы должны выразить волны в решетке таким образом, чтобы их было удобно сравнивать с результатами макроскопической теории. Это рассмотрение будет проведено в § 30—32, и мы увидим, что таким путем можно получить как коэффициенты аар, еа1, так и упругие постоянные.
§ 26. Длинноволновые акустические колебания
Для малых значений у систему уравнений (24.6) можно решить с. помощью метода возмущений, впервые развитого Борном [1 ]. Соответствующие решения, представляющие колебания решетки с большой длиной волны, дают как раз то, что потребуется для рассмотрения макроскопических свойств в общей теории (упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических свойств).
Перед тем как мы изложим этот метод возмущений, следует отметить один пункт: если у изменяется непрерывно, то следует ожидать, что и каждое из Зп решений системы уравнений (24.6),
которые мы обозначили через wa( к \ у|, / = 1,2, ... , 3 п, также будет
^ 1)
изменяться непрерывно. Это обычно справедливо, так что указанные Зп решений приводят к Зп ветвям решений, за исключением, однако, ближайшей окрестности точки у = 0. То, что зависимость решений от параметра у не является регулярной в точке у = 0, сразу становится ясным при рассмотрении упругих волн. Рассмотрим идеально простой случай изотропной среды. Из теории упругости известно, что каждому данному вектору волнового числа у соответствуют
264
Глава 5. Метод длинных волн
две поперечные волны и одна продольная. Это означает, что если мы приближаемся к точке у = 0, пробегая значения у, направление которых фиксировано, то векторы поляризации указанных трех решений все время остаются соответственно параллельными и перпендикулярными заданному направлению. Таким образом, пределы векторов поляризации различны при стремлении к точке у = О с разных направлений; иными словами, при у = 0 не существует однозначного предела для рассматриваемых решений. Отсюда следует, что решения не могут быть представлены в виде
рядов Тэйлора по степеням компонент уг, у2, у3, как независимых параметров.
