Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
(27.3)
(27.4)
(а = у)
Say — 2 СауфХ SpX j. fiX
(27.5)
Сиуф). — Суа,рХ — СР>-, Щ' ¦
(27.6)
(27.7)
272
Глава 5. Метод длинных волн
где р — массовая плотность. Пользуясь законом Гука (27.5) и выражая затем Sa,i через вектор смещения и(х) с помощью (27.4), имеем
9 йа = М СауЗХудЪ ‘ ^27‘8^
Рассмотрим теперь плоскую упругую волну
и(х) = и ехр{2тсгух — г со/}. (27.9)
Подставляя (27.9) в (27.8), получаем
р со2 йа = 4 ТС2 { 2Т Сау ца У У ух} Щ . (27.10)
Р а ;¦*
Как видим, это уравнение по форме совпадает с уравнением (26.31) для длинных акустических волн в решетке. Важно, однако, отметить, что (27.10) относится специально к упругим волнам в среде, первоначально свободной от напряжений; среда, подверженная действию даже одних только однородных напряжений, не может быть описана с помощью двадцати одной упругой постоянной, как это было сделано выше [см. §28]. Таким образом, (27.10) можно сравнить с (26.31), только если (26.31) описывает волны в решетке, первоначально свободной от напряжений, иными словами, только
если коэффициенты Ф„р через которые выражаются скобки в
(26.31), действительно определены относительно «отсчетной» конфигурации, удовлетворяющей условию равновесия 2 (стр. 249). Мы убедимся сейчас, что для совместимости (27.10) и (26.31) квадратные скобки [а/5, у ,\ должны удовлетворять определенным соотношениям; из этого можно заключить, что указанные соотношения выражают такие ограничения на производные, которые некоторым образом связаны с условием равновесия 2 (стр. 249). Точный смысл этих соотношений будет рассмотрен в следующем параграфе.
Для тождественности (27.10) и (26.31) должно выполняться равенство
2Сау,тУуУл = 2’{И. У*] +(аУ,№)}УуУ* (27.11)
vA *L уЯ
для любых значений у; отсюда^следует, что
Сау, 0*_+ Сах, ру = 2 [а/9, у}.] -f- (ау, /ЗА) + (аА, /3у). (27.12)
Эти соотношения должны выполняться при соблюдении соотношений симметрии (26.34), (26.35) и (27.6) для скобок и упругих постоянных.
Будем считать скобки известными и рассмотрим (27.12) как уравнения, определяющие упругие постоянные са,л/И. Заметим, что круглые скобки удовлетворяют в точности тем же соотношениям симметрии относительно перестановки индексов, что и упругие постоянные. Таким образом, из рассмотрения можно исключить
§ 27. Упругие постоянные неионных кристаллов
273
круглые скобки, введя вместо сау,/ц величины da.,,px, определенные равенством
Cay, рх = day, рх + (а у, №), (27.13)
так что (27.12) принимает вид
day, flX + daX, ру = 2 [afi, yA] . (27.14)
Величины daV,px должны, очевидно, удовлетворять тем же соотношениям симметрии, что и сау, рх и (ay, /?А). Выразим эти соотноше-
ния симметрии в двояком виде:
a) dcy.vx^dya.px, (27.15)
О) day, РХ d(JX, ay •
Теперь можно рассматривать day,px как неизвестные и искать решения уравнения (27.14), совместимые с соотношениями симметрии (27.15).
Мы покажем, что в действительности существует только одно решение уравнения (27.14), совместимое с (27.15) <<а». Предположим, что (27.14) имеет два различных решения и оба совместимые с (27.15) «а». Их разность Л йпу,ьх = — d"nY,pX должна
быть симметрична по первой паре индексов
Д day, р?. — Д dya, рХ j (27.16)
и должна удовлетворять равенству
^ day iik -f- Д dax, ру = 0, (27.17)
получающемуся при подстановке d'n.,,px и d“1VtpX соответственно в (27.14) и последующем вычитании полученных выражений. Переобозначая а и у соответственно через у и а, можно записать
(27.17) как
Д dya, рх -f- A dyx, ра — 0. (27.18)
Из (27.16) следует, что первый член в (27.17) равен первому члену в (27.18). Таким образом, вычитая (27.18) из (27.17), найдем
^ dax, ру — ^ dyx, Ра = 0. (27.19)
Имея в виду (27.16), можно переставить первые пары индексов в обоих членах; переобозначая затем Л, а, у соответственно через а, у, получаем
Л day, рх — A daX, fly = 0. (27.20)
Складывая (27.20) с (27.17), найдем
Ad*yjx = 0. (27.21)
18 Макс Борн и Хуан Кунь
274
Глава 5. Метод длинных волн
Таким образом, и d"aVt^ с необходимостью равны между собой. Иными словами, уже одни лишь вспомогательные условия (27.15) «а» делают решение уравнения (27.14) единственным.
