Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
собой упругие волны в среде, которая может находиться под действием некоторых однородных напряжений. Мы покажем, что, сравнивая волны в решетке с упругими волнами, получаемыми из теории упругости, можно получить не только упругие постоянные, но и выражение для анизотропных напряжений в конфигурации, относительно которой определены производные Фа1! . Таким
образом, в общем случае условие равновесия 1 (стр. 249) может быть отчасти явно введено с помощью требования обращения в нуль этих напряжений. Подобно натяжению в линейном случае изотропное давление не может быть выражено в общей теории и должно неявно подразумеваться равным нулю при любом приложении результатов теории.
В § 11 было показано, что результаты, получаемые методом однородной деформации, расходятся для ионных решеток, за исключением некоторых частных случаев высокой симметрии. Действительно, не считая этих последних случаев, которых мы не будем ¦специально предусматривать в последующем изложении, упругие свойства ионных решеток должны рассматриваться отдельно от упругих свойств других решеток, вне зависимости от выбранного метода рассмотрения. Причина этого состоит в том, что ионные
$ 25. Несостоятельность метода однородной деформации
261
решетки, вообще говоря, являются пьезоэлектрическими, и их упругие свойства не могут рассматриваться изолированно от электрических эффектов. Иными словами, для ионных решеток не существует «чистой» теории упругости.
Более широкого понимания отмеченного обстоятельства можно достичь при другом переходе к рассматриваемой проблеме. Заметим, что основой всех макроскопических теорий применительно к материальным средам является допущение, что «ответная реакция» среды носит локальный характер. Так, в гидродинамике мы считаем, что удельный объем определяется температурой и давлением в той же самой точке; в теории упругости мы считаем, что деформация определяется напряжением в той же самой точке, и т. д. Задачей атомной теории обычно является вывод соотношений между локальными параметрами (например, между удельным объемом, температурой и давлением; между компонентами упругой деформации и напряжения и т. д.). С точки зрения атомной теории вышеприведенное основное допущение оправдывается представлением о микроскопичности размеров сферы влияния атомных частиц — длины свободного пробега, радиуса действия сил и т. д. Таким образом, необходимой предпосылкой теории упругости является микроскопичность радиуса действия рассматриваемых межатомных сил. Для ионных кристаллов это не имеет места. Как мы видели, расходимость результатов в § 11 связана с тем обстоятельством, что силы, действующие на ионы, зависят от формы образца, как бы велик он ни был;, это означает, что ионы, находящиеся на поверхности, оказывают конечное влияние на ионы, находящиеся внутри образца. В частности, это означает, что силы, действующие на ионы, не могут полностью определяться локальной деформацией. Таким образом, расходимость результатов не следует рассматривать как следствие метода однородной деформации; она действительно представляет собой настоящее непреодолимое препятствие с точки зрения теории упругости.
Однако благодаря теории Максвелла эту трудность можно разрешить, не отказываясь от основного допущения. Нужно ввести, кроме деформации, дополнительный локальный параметр — макроскопическое электрическое поле; совместно эти величины полностью определяют силы, действующие на частицы решетки. Таким путем восстанавливается локальная основа макроскопического рассмотрения. Разумеется, само макроскопическое поле в конечном счете определяется частично условиями в других местах, но эту трудность позволяет преодолеть использование уравнений Максвелла, являющихся по своему характеру локальными.
С такого рода положением мы уже встречались в § 7 при рассмотрении длинноволновых оптических колебаний. Поскольку в любой малой окрестности данной точки движение, соответствующее как продольным, так и поперечным нормальным колебаниям, оди-
262 Глава 5. Метод длинных волн
наково (т. е. представляет собой осцилляцию положительных ионов относительно отрицательных), то различие их частот означает, что атомные силы не могут быть по своему характеру полностью локальными. При феноменологическом рассмотрении это различие возникает за счет макроскопического поля; большая частота продольных колебаний является, очевидно, следствием увеличения возвращающей силы макроскопическим полем, которое отсутствует при поперечных колебаниях. Заметим далее, что макроскопическое поле не является переносчиком всего электрического взаимодействия между ионами. В § 9 было показано, что электрическое поле, действующее на ион, разбивается на макроскопическое поле и лорен-цово поле 4 л Р/3. Последнее описывает ту часть взаимодействия, которая однозначно определяется локальными условиями; таким образом, по своему характеру эта часть такова же, как и атомные силы, ответственные за упругие свойства неионных кристаллов. С этой точки зрения, макроскопическое поле характеризуется не столько тем, что это поле электрическое, сколько тем, что оно представляет ту часть сил, действующих на частицы, которая не определяется одними лишь локальными условиями.
