Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 29. Центральные силы
281
§ 29. Центральные силы
Поучительно применить результаты, полученные в предыдущих двух параграфах, к моделям решетки, в которых силы взаимодействия между частицами являются центральными. Как и в § 11, мы будем считать потенциальную энергию взаимодействия между двумя частицами типов к и к' функцией квадрата расстояния между и ими и обозначим эту функцию через ^-.Таким образом, формальное выражение для полной потенциальной функции решетки имеет вид
ф = ±22ш- (|*И + «(][)-«(9 П• <291)
1к 1'к' м 4 4
где, как и в § 11, вместо исключения членов с = Q мы ставим
формальное условие равенства нулю цкк и всех ее производных при нулевом значении аргумента.
Производные от Ф люгут быть получены непосредственным дифференцированием выражения (29.1). Проводя это дифференцирование, мы должны лишь иметь в виду, что дифференцирование Ф по
и„ выделяет из двойной суммы (29.1) только те ее члены, для
которых либо ^ либо равно То же справедливо при получении вторых производных по смещениям одной и той же частицы ;
(Г Л (1"'\
вклад же во вторые производные по смещениям и„ 1,1, Up L,„l
двух различных частиц и получается только от двух
тождественных членов Ц) = (I')’ (/?') = (fc'") 11 (л) = (!'")’
(ft') = (*') вышепРивеДенн°й суммы. Явные выражения первой и вторых производных могут быть записаны в виде
(Л) = 2 v [*.v']x( '' V (29-2)
I- к- \ кк' I
Ц') = (- 2^ V' - 4л'- ^ *”}, ( ^)
[исключая случай (1 = 0, к’= к)], (29.3)
фсф [^) = 2 {26-а Ч>' + 4х„ xr; 7>"}х ( ^ j, (29.4)
где, как и в § 11, аргументы написаны внизу справа, а под у подразумевается укк', если указанный аргумент относится к двум
282
Глава 5. Метод длинных волн
частицам типов ктлк' соответственно. Формальное условие равенства нулю укк(0), yikk(0) и т. д., очевидно, эквивалентно исключению члена
Подставляя (29.3) и (29.4) в (26.3), (26.4) и (26.5), получаем
При написании (29.6) и (29.7) мы учли, что (29.4) не дает никакого вклада. Теперь условие равновесия 1 (стр. 249) имеет вид
что полностью эквивалентно (11.13) ввиду соотношения симметрии (11.10) «б». Кроме того, с помощью соотношений (11.10) легко убедиться, что для приведенных выше выражений коэффициентов С$(кк'), С%\(кк') и C$vx(kk') выполняются общие соотношения
(26.3)—(26.8).
Подставляя (29.7) в (26.32), получаем для квадратных скобок
(29.9)
что, очевидно, удовлетворяет соотношениям симметрии (26.34). Кроме того, легко проверить, что полученное выражение удовлет-
(''.) = (?) из (29.2) и (29.4).
4 2 [ХаХ0 V"]/ /\
1 *\кк-)
(кфП
(29,5)
(29.6)
+ 2^-[ХаХрХуХАу']./ 1 \ ¦ (29.7)
Ф«(к) = 2 v [х,у']/ / ч = 0, I’ /.' Ккк’)
(29.8)
§ 29. Центральные силы
283
воряет также и десяти дополнительным соотношениям инвариантности (28.32)—(28.35), выведенным в предыдущем параграфе.
Подставляя (29.9) в (28.26), (28.27) и (28.31), получаем для анизотропных компонент напряжений
(/к-) - ^ V' (!>(4) Г). <29Л0>
П ¦ <29Л1>
^-тЬ.2Ч/УЧ^М1х(*УП- <2912)
Ikk'
Разумеется, теперь, когда у нас есть конкретная модель, мы можем получить среднее давление. Рассмотрим однородное сжатие, при котором все расстояния в решетке сокращаются на один и тот же множитель; обозначим его через (1 — е). Рассматривая энергию взаимодействия каждой частицы нулевой ячейки со всеми остальными частицами решетки и суммируя по нулевой ячейке, получаем следующее изменение энергии на одну ячейку:
(О -‘>!| »(/*) Г )г *«• (1 »(«)Г ))=
= -‘^К^)Гт'«-01Р!,)+°и+- <29лз)
Это должно равняться работе, совершаемой над ячейкой силами давления ; с точностью до первого порядка по е эта работа равна
Уменьшение объема на одну ячейку X р = 3 evap. (29.14)
Приравнивая (29.13) и (29.14) в пределе е->-0, найдем
"3 (Su + S22 + S33) = — Р = -э--- 2 ! х[к'к)¦ v> ( x(f*) I ) •
i'kkf 1 1 *
(29.15)
Комбинируя это выражение с (29.10) и (29.11), найдем, что та же самая формула, что и (29.12),
=-sr.2*- (*У *I /У (*У? I (29-,в)
Ikk' '
справедлива также и для а = /3.
Условия равновесия 2 (стр. 249) требуют равенства нулю всех компонент напряжения, и потому в данном случае имеют вид
284
Глава 5. Метод длинных волн
