Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Все тождественные соотношения, выведенные нами для потенциальной функции Ф, очевидно, справедливы для любой скалярной функции, относящейся к решетке.
§ 23. Модель бесконечной решетки и общие соотношения инвариантности 255
Кроме того, при переносах компоненты векторов и тензоров остаются инвариантными точно так же, как скаляры. Поэтому все тождества, выведенные выше для скаляров из рассмотрения переносов, справедливы также и для компонент векторов и тензоров. Так, применяя (23.6), (23.11) и (23.14) к a-компоненте М(Х) и (а, /3)-компоненте поляризуемости Рар(со, X), получаем соотношения
бесконечно малым поворотом, можно получить тождество, аналогичное (23.21). Единственным отличием в этом случае является то, что
декартова тензора. Таким образом, соответственно соотношению
(23.20) получаем с точностью до первого порядка соотношение
которое должно выполняться тождественно. Дифференцируя (23.28) по и полагая затем все параметры a>fl„ равными нулю,
получаем тождества
Тождества, полученные для М(Х) и Ра^(со, X), очевидно, справедливы для любого вектора и, соответственно, тензора, относящегося к решетке.
2маАк) = о,
к
(23.22)
(23.23)
(23.24)
(23.25)
при повороте QMa(X)jQut (П преобразуется, как (а, /3)-компонента
256
Глава 5. Метод длинных волн
§ 24. Волны в решетке
Когда ядра находятся в произвольно смещенных положениях х -f- u ^j, мы имеем уравнения
^Й-(Э = - -7/Т (24Л)
ди- у
[заметим, что 9 Ф/8 иа относится к конфигурации ядер в их смещенных положениях]. Рассмотрим движение ядер в гармоническом приближении. Таким образом, если Ф записано в виде ряда Тэйлора по степеням смещений ядер, то членами третьего и более высоких порядков нужно пренебречь. Соответственно, находим
¦^ту = *.<Ч + 2;М«М?); (24'2)
здесь постоянный член Фа(к) выражает a-компоненту силы, действующей на частицу к в равновесной конфигурации ; тогда, согласно требованию 1 (стр. 249):
Фа(к) = 0. (24.3)
Следовательно, после подстановки (24.2) в (24.1) имеем
= (??Ы?). (24.4)
Формула (24.4) представляет собой систему бесконечного числа линейных дифференциальных уравнений. Легко убедиться, что благодаря основному свойству периодичности решетки можно сразу упростить эту систему, используя волновые решения вида1)
u« f 3 = у= w« (*) exp [2 п i у х Q - i со /j , (24.5)
где у—произвольный вектор в обратной! пространстве, который может быть интерпретирован как вектор волнового числа2) (| у[ = волновому числу, у параллелен волновой нормали). Подставляя (24.5)
в (24.4) и деля получающееся уравнение на exp|2^iyx^j — га>/| ,
найдем, что бесконечное число уравнений сводится к Зп линейным
!) Здесь символ wa(k) для амплитуды не обязательно означает, что wa(k) не зависит от у.
2) Он отличается от обычного волнового вектора множителем 2я. — Прим. перев.
§ 24. Волны в решетке
257
однородным уравнениям относительно Зп неизвестных wa(k) (к = 0, 1,2, ... ,п — 1 ; а = 1,2,3):
со2 wa (к) = 2 ѰРЦ.) Щ (к'). (24.6)
где коэффициенты определены следующим образом:
С°' Ш = >«55*Ц** И 0 - * (?))} =
- <2«>
а У (У и У г, Уз) являются компонентами у.
Возможность такой редукции системы уравнений является прямым следствием свойства периодичности решетки, так как именно этим свойством обусловлено то обстоятельство, что
м«.)
зависит только от (I — I'). Если бы не указанное обстоятельство, то коэффициенты (24.7) не были бы независимы от индекса ячейки I, и система (24.6) была бы неприемлема.
Уравнения (24.6) приводят к известному условию разрешимости
= 0, (24.8)
которое приводилось и обсуждалось в § 6. Уравнение (24.8) является уравнением степени Зп относительно ; мы обозначим Зп его
решений через ш2 (/ = 1,2, . .. , 3 п). Для каждого из этих значений и2 выражение (24.6) дает набор значений wu(k), который мы
обозначим через \va (/< j ^j. Таким образом, для ш2 (^j и ц’п! к j J] имеем
следующие соотношения:
|“2(/)^e<,**'-C‘4IU')i=°, <24-9)
“2Gy)iv»(Ai/)=i^c,,'j(fc9u''j (*'!?) • (24Л0)
кг,
Из определения величин Фа$ очевидно, что
<24Л1>
В измененных обозначениях (23.4) равенство (24.11) может быть записано в виде
ф-> Ц-) = У • <24.12)
17 Макс Борн и Хуан Кунб
258
Глава 5. Метод длинных волн
