Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
2 *. (»'»¦) » (tt-) * (!* (;,)Г) “ 0¦ (29.17)
Заметим, что эти условия тождественны условиям, приведенным ранее в виде (11.14).
Если условия равновесия (29.17) выполнены, то выражение
(29.9) для квадратных скобок сводится к
№,уЦ = ~ ^[ХьХрХуЪцГ]/ i у (29.18)
1кк¦ \ klf )
Рассмотрим упругие постоянные для решеток, в которых каждая частица решетки помещается в центре симметрии (см. § 11). В этом частном случае выражение (29.6) для С$,,.(/с/с') тождественно равно нулю; из (26.33) следует, что в этом случае обращаются в нуль также все круглые скобки. Имея в виду это обстоятельство, а также симметричность по всем четырем индексам квадратных скобок, которые теперь имеют вид (29.18), найдем, что упругие постоянные
(27.26) в этом случае становятся тождественными квадратным скобкам :
2
Сау, /н = [а/?, уЦ = — 2 [Ха Хр Ху ХА ip"] I ! ч , (29.19)
“ 1кк' * \ кк' )
что было получено в § 11 в виде (11.30).
§ 30. Кулоновское поле в дипольной решетке — метод Эвальда и выделение макроскопического поля
Расходящиеся результаты, к которым приводит метод длинных воли в случае ионных кристаллов, указывают не только на то, что волны в решетке уже не сравнимы с чисто упругими волнами, но и на то, что метод возмущений, развитый в § 26, должен быть видоизменен. В настоящем параграфе мы установим результат, являющийся основой такого видоизмененного метода; необходимая для этой цели математическая методика была впервые разработана Эвальдом [3—6].
Рассмотрим диполи
р (Z) = р 0), (30.1)
распределенные по простой решетке Бравэ x(Z) = Z1a1 + /2a2 + I3 а3-Если волновое число у мало по сравнению с обратными размерами ячейки решетки, так что р(Z) очень мало изменяется от одной ячейки к другой, то решетку можно представить себе как поляризованный
§ 30. Кулоновское поле в дипольной решетке
285
континуум со следующей макроскопической диэлектрической поляризацией :
Р (х) = е2™** . (30.2)
Соответствующее макроскопическое электрическое поле может быть определено так же, как и в § 7, с помощью уравнения электростатики
div (Е (х) + 4л Р (х)) = 0, (30.3)
где Е(х) — безвихревое поле. Мы должны воспользоваться формулой
(30.2) для Р(х) и получить значение Е(х) из (30.3). Разложим Р(х) на две части Р(1(х) и Р±(х), соответственно параллельную и перпендикулярную у; легко убедиться, что часть Р (х) является безвихревой, а Р±(х) — соленоидальной. Следовательно, Р±(х) не дает вклада в уравнение (30.3), которое, таким образом, можно записать в виде
div (Е (х) = 4л Ри (х)) = 0 . (30.4)
Поскольку оба вектора Е(х) и Р, (х) являются безвихревыми, мы имеем, кроме того,
rot (Е (х) + 4л Р,;(х)) = 0 . (30.5)
Согласно хорошо известной теореме векторного анализа, если как дивергенция, так и ротор вектора всюду равны нулю, то и само векторное поле должно быть тождественно равно нулю. Таким образом, из (30.4) и (30.5) следует
Е(х) = -4яР|;(х). (30.6)
Выражая Р,м(х) явно с помощью (30.2), имеем
Е (х) = Е е2л‘ ух , (30.7)
где амплитуда равна
ШШ- <30-8>
Однако истинное кулоновское поле в решетке отличается от макроскопического поля. Поле (точнее, его a-компонента) в точке х, создаваемое одиночным диполем р(/), находящимся в точке х(/), имеет вид
2>< 0-?Л»Ы=«7)- <30'9>
р
Производя суммирование по всем диполям решетки, получаем для
286
Глава 5. Метод длинных волн
кулоновского поля в точке х выражение
02 (Ят ух (I)
(30-10)
Наша цель — так преобразовать величину (30.10), чтобы она представляла собой сумму макроскопического поля (30.7) и внутреннего поля, а затем показать, что внутреннее поле как функция у регулярно при у = 0, в то время как макроскопическое поле нерегулярно. Следуя Эвальду, введем тождество 00
2 j?-l x,/)-x,v d9 = .-x(01_xi (30.11)
о
в качестве интегрального представления величины 1/| х(/)—х |. Таким образом, используя (30.11), можно записать (30.10) в виде 00
уп»------—--- Г ]_?_ У1 g— ix(0—x]V + 2niy (X (I) — *) ( e27iiyx
f.;PP;OXa dxp) j Уя ^ ^ |e °P-
(30.12)
Выражение в фигурных скобках является периодической функцией х, обладающей периодичностью решетки; в самом деле, заменяя х на х + х(/), можно свести эту функцию к ее первоначальному виду просто введением I—1 (т. е. 11 — I1,12 — /2, /3 — /3) вместо I в качестве индекса суммирования. Следовательно, это выражение можно представить в виде ряда Фурье. Согласно (22.22), соответствующие коэффициенты Фурье имеют вид
