Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Из рассмотрения, проведенного в § 25, следует, что если не учитывать явно специальных свойств симметрии, то мы должны, вообще говоря, рассматривать ионные кристаллы, как пьезоэлектрические.
§ 32. Упругие и пьезоэлектрические постоянные и диэлектр. тензор 301
Чтобы получить соответствующие уравнения движения для ионных кристаллов в макроскопической теории, мы должны, таким образом, использовать вместо закона Гука уравнения (25.3) и (25.4). Запишем эти уравнения в тензорных обозначениях
Say ==г 2 t'ay, ИХ -S.,'Я 2 CptayE[] (^fJ, ay — , (32.1)
Pi P
Pa == 2' ea, p.,. s,h. + v fl./j Efl, (32.2)
Pv P
где коэффициенты совпадают с коэффициентами в обозначениях Фойгта с точностью до транскрипции индексов. Используя (32.1), имеем
? в. = 2 = 2 с«.„ - 2 «,.» |f? • (32.3)
у 0 ХУ flyl 0 ХУ 0 fiy 0 ХУ
В пьезоэлектрическом кристалле упругая волна
иа (х, t) — Tia ехр {2 7i i ух — i ш t} (32.4)
связана с электрическим полем
Еа = Ёа ехр {2л г у х — i tot}. (32.5)
Подставляя (32.4) и (32.5) в уравнения движения (32.3), получаем в Ш2 йа -- 4 л2 2 (V СиуфХ Уу V;.) йр + 2 л i 2' (2 ч, ау У,.) Ер . (32.6)
Р -А Р у
Если в методе возмущений положить формальный параметр е равным единице, то смещения частиц и макроскопическое поле при акустическом колебании решетки описываются соответственно выражениями
*¦0 - тэт «Л*! Я**"'*®-"®' -
= + iwV[k\ J) + . - .)e5”'»*(ft)-i“(5),> (32.7)
En (x, f) = (Eg» + i ?(D + ...) <№-,<,(*) t. (32.8)
В каждом отдельном случае величины, входящие в макроскопическую теорию, должны сравниваться с неисчезающим членом наинизшего порядка, входящим в теорию решетки. Так, упругое смещение (32.4) должно сравниваться с членом нулевого порядка в (32.7), в то время как поле (32.5) должно сравниваться с членом первого порядка в (32.8), поскольку член нулевого порядка равен нулю [см. (31.33)]. Иными словами, йа и Ёа в (32.6) должны быть отождествлены с ua(j) и в (31.37). Мы видим, что эти уравнения
302
Глава 5. Метод длинных волн
оказываются идентичными, если
1 Сау, рх У У Ух = 2 [аР, УЦ Уу Ух + 2" (аУ> Р*) Уу Ух, (32.9)
2 ep,aYyY = 2[P,ay] yY.
(32.10)
У
У
Поскольку скобки в (32.9) удовлетворяют тем же соотношениям симметрии (31.41) и (31.42), что и соответствующие скобки в неионном случае, то, применяя рассуждения, использованные в § 27 и 28, к (32.9), получаем
где скобки, как мы помним, отличаются от скобок в неионном случае заменой коэффициентов Cif(kk'), C$tV(kk'), C!,fy>.(kk') видоизмененными коэффициентами с чертой сверху.
Поскольку как так и [/S, ау\ симметричны по а и у, из
(32.10) получаем непротиворечивый результат
С упругой волной (32.4) связана также волна поляризации
Подстановка (32.4), (32.5) и (32.13) в (32.2) приводит к следующему соотношению :
Член нулевого порядка в (32.15), очевидно, равен пулю ; таким образом, (32.14) следует сравнивать с членом первого порядка
где использовано выражение (31.36) для смещения первого порядка.
Сиу, рх = \аР, уЛ] + [Ру, оЦ — [РК ау] + (ау, РЛ), (32.11)
ер, ау = [Р, ау] .
(32.12)
Ра (к, t) = Ра ехр {2 71 i ух — г ш t}.
(32.13)
Р У Р
Диэлектрическая поляризация в упругой волне равна
Ра = 2 п i 2' (2’ е“,Ру Уу) йр + 2’ а°е Ер ¦ (32.14)
= ! iua(j)2ek+i2-^-^\k\y.) + . . '“(?)'¦ (32.15)
Va I k k \ trik i * ' J
§ 33. Феноменологическое рассмотрение дисперсионной формулы
303
Приравнивая (32.14) и (32.16), а также имея в виду, что и,з = Up(j) и Ер = iE(p, находим
ft- = 2^Г 2 2 Л= Га, (kk') 2 Vmk~- с% (k'к"), (32.17)
z7IVa кГ р Ык к"
= <3218> С помощью соотношения антисимметрии (26.4) [справедливого также и для С(а1У(кк') ] и того обстоятельства, что Г является симметричной матрицей^ легко убеждаемся, что (32.17) согласуется с полученным ранее выражением (32.12) для пьезоэлектрических постоянных [см. (31.40)].
Коэффициенты аар являются компонентами тензора диэлектрической восприимчивости. С помощью (32.18) получаем для компонент диэлектрического тензора
еар = бар+4л а*р = дар + ^2 (А*') ¦ (32-19>
У а кк' (тктк,)г
§ 33. Феноменологическое рассмотрение дисперсионной формулы для сложных решеток
В противоположность теории упругости рассмотрим макроскопическую теорию явлений, существенно связанных только с внутренней деформацией. Предположим, что для таких явлений в каждой точке среды может быть определена плотность энергии и так, чтобы она была квадратичной функцией макроскопического электрического поля и смещений а(к) (для частиц типа к) в той же точке. (Разумеется, для применимости макроскопического рассмотрения условия должны быть практически однородными в областях микроскопических размеров; говоря о «точке», мы подразумеваем макроскопически малую область, которая все еще содержит большое число ячеек решетки.) Итак, напишем