Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борн М. -> "Динамическая теория кристаллических решеток" -> 122

Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.

Борн М., Кунь Х. Динамическая теория кристаллических решеток — М.: Ил, 1958. — 488 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakristalicheskihreshetok1958.pdf
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 186 >> Следующая


Из рассмотрения, проведенного в § 25, следует, что если не учитывать явно специальных свойств симметрии, то мы должны, вообще говоря, рассматривать ионные кристаллы, как пьезоэлектрические.
§ 32. Упругие и пьезоэлектрические постоянные и диэлектр. тензор 301

Чтобы получить соответствующие уравнения движения для ионных кристаллов в макроскопической теории, мы должны, таким образом, использовать вместо закона Гука уравнения (25.3) и (25.4). Запишем эти уравнения в тензорных обозначениях

Say ==г 2 t'ay, ИХ -S.,'Я 2 CptayE[] (^fJ, ay — , (32.1)

Pi P

Pa == 2' ea, p.,. s,h. + v fl./j Efl, (32.2)

Pv P

где коэффициенты совпадают с коэффициентами в обозначениях Фойгта с точностью до транскрипции индексов. Используя (32.1), имеем

? в. = 2 = 2 с«.„ - 2 «,.» |f? • (32.3)

у 0 ХУ flyl 0 ХУ 0 fiy 0 ХУ

В пьезоэлектрическом кристалле упругая волна

иа (х, t) — Tia ехр {2 7i i ух — i ш t} (32.4)

связана с электрическим полем

Еа = Ёа ехр {2л г у х — i tot}. (32.5)

Подставляя (32.4) и (32.5) в уравнения движения (32.3), получаем в Ш2 йа -- 4 л2 2 (V СиуфХ Уу V;.) йр + 2 л i 2' (2 ч, ау У,.) Ер . (32.6)

Р -А Р у

Если в методе возмущений положить формальный параметр е равным единице, то смещения частиц и макроскопическое поле при акустическом колебании решетки описываются соответственно выражениями

*¦0 - тэт «Л*! Я**"'*®-"®' -

= + iwV[k\ J) + . - .)e5”'»*(ft)-i“(5),> (32.7)

En (x, f) = (Eg» + i ?(D + ...) <№-,<,(*) t. (32.8)

В каждом отдельном случае величины, входящие в макроскопическую теорию, должны сравниваться с неисчезающим членом наинизшего порядка, входящим в теорию решетки. Так, упругое смещение (32.4) должно сравниваться с членом нулевого порядка в (32.7), в то время как поле (32.5) должно сравниваться с членом первого порядка в (32.8), поскольку член нулевого порядка равен нулю [см. (31.33)]. Иными словами, йа и Ёа в (32.6) должны быть отождествлены с ua(j) и в (31.37). Мы видим, что эти уравнения
302

Глава 5. Метод длинных волн

оказываются идентичными, если

1 Сау, рх У У Ух = 2 [аР, УЦ Уу Ух + 2" (аУ> Р*) Уу Ух, (32.9)

2 ep,aYyY = 2[P,ay] yY.

(32.10)

У

У

Поскольку скобки в (32.9) удовлетворяют тем же соотношениям симметрии (31.41) и (31.42), что и соответствующие скобки в неионном случае, то, применяя рассуждения, использованные в § 27 и 28, к (32.9), получаем

где скобки, как мы помним, отличаются от скобок в неионном случае заменой коэффициентов Cif(kk'), C$tV(kk'), C!,fy>.(kk') видоизмененными коэффициентами с чертой сверху.

Поскольку как так и [/S, ау\ симметричны по а и у, из

(32.10) получаем непротиворечивый результат

С упругой волной (32.4) связана также волна поляризации

Подстановка (32.4), (32.5) и (32.13) в (32.2) приводит к следующему соотношению :

Член нулевого порядка в (32.15), очевидно, равен пулю ; таким образом, (32.14) следует сравнивать с членом первого порядка

где использовано выражение (31.36) для смещения первого порядка.

Сиу, рх = \аР, уЛ] + [Ру, оЦ — [РК ау] + (ау, РЛ), (32.11)

ер, ау = [Р, ау] .

(32.12)

Ра (к, t) = Ра ехр {2 71 i ух — г ш t}.

(32.13)

Р У Р

Диэлектрическая поляризация в упругой волне равна

Ра = 2 п i 2' (2’ е“,Ру Уу) йр + 2’ а°е Ер ¦ (32.14)

= ! iua(j)2ek+i2-^-^\k\y.) + . . '“(?)'¦ (32.15)

Va I k k \ trik i * ' J
§ 33. Феноменологическое рассмотрение дисперсионной формулы

303

Приравнивая (32.14) и (32.16), а также имея в виду, что и,з = Up(j) и Ер = iE(p, находим

ft- = 2^Г 2 2 Л= Га, (kk') 2 Vmk~- с% (k'к"), (32.17)

z7IVa кГ р Ык к"

= <3218> С помощью соотношения антисимметрии (26.4) [справедливого также и для С(а1У(кк') ] и того обстоятельства, что Г является симметричной матрицей^ легко убеждаемся, что (32.17) согласуется с полученным ранее выражением (32.12) для пьезоэлектрических постоянных [см. (31.40)].

Коэффициенты аар являются компонентами тензора диэлектрической восприимчивости. С помощью (32.18) получаем для компонент диэлектрического тензора

еар = бар+4л а*р = дар + ^2 (А*') ¦ (32-19>

У а кк' (тктк,)г

§ 33. Феноменологическое рассмотрение дисперсионной формулы для сложных решеток

В противоположность теории упругости рассмотрим макроскопическую теорию явлений, существенно связанных только с внутренней деформацией. Предположим, что для таких явлений в каждой точке среды может быть определена плотность энергии и так, чтобы она была квадратичной функцией макроскопического электрического поля и смещений а(к) (для частиц типа к) в той же точке. (Разумеется, для применимости макроскопического рассмотрения условия должны быть практически однородными в областях микроскопических размеров; говоря о «точке», мы подразумеваем макроскопически малую область, которая все еще содержит большое число ячеек решетки.) Итак, напишем
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed