Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Если бесконечно малая деформация производится изотермически, то работа Л W равна изменению свободной энергии
-} лё\ .
(37.14)
В этой связи нормировочный множитель следует считать постоянным, так как мы рассматриваем свободную энергию опреде-
ленного участка среды, а именно участка, занимающего единичный объем до бесконечно малой деформации.
В силу определения (36.10) параметров внешней деформации имеем
Лйиг = у {Ли?, + Auv/i + ? Лиа* Ua> + 2 • (37-15)
AF
1
| 1 + 20 |й
1 + 20 j’/»
§ 37. Феноменологическое рассмотрение свободной энергии решетки
327
Поскольку поле поддерживается постоянным, из (37.4) следует
ЛЁ^ = 2^Еа. (37.16)
a
Изменения Л и^ параметров деформации и?У могут быть вычислены следующим образом: точка х образца до бесконечно малой деформации связана со своим положением х в совершенно недеформиро-ванной решетке соотношением
+ 2 ч^Ху. (37.17)
V
С огласно (37.6), бесконечно малая деформация переводит эту точку в следующее положение:
хм + dxM = хм + 2' vMy Ху = г
= х? + 2 х, + 2 «и- Ху + 2’ Чу, ху = (37.18)
р у yv
= Х„ + 2 [U^ + ^. + 2 VW UYv] Ху .
V у
Сопоставляя (37.18) с (37.17), видим, что бесконечно малая деформация переводит и?, в
+ iv. + 2 Vw “yv •
У
Другими словами,
A Up, = Vp, -(- 2 Vfiy tlyy , (37.19)
У
Путем соответствующего переобозначения индексов /л, v это соотношение можно использовать для исключения Л ии т. д. из (37.15).
Таким образом, находим, что (37.15) можно записать в виде
А йр, : ~к~ {Vf,y -{- 2 Vpy Uyv ^vfi “(“ 2 Hyp “f- 2 ^ац Uav “(“
Y Y a
+ 2 Vay tlyfi Uay + 2 Map V0v + 2 Uafi Vay Ну*} ¦ (37.20)
ay a ay
В правой части заменим индекс суммирования у на а в четвертом члене, а на у — в пятом члене и а, у соответственно на у, а — в шестом члене. Тогда легко заметить, что (37.20) можно записать в другом виде
Лй„, — -у {Vp, + Vvp + 2 (WW + VV?) UYf + 2 (Va, + Vva) Ua/I +
Y ®
+ 2(V cy + Vya) tlafi tly9 }, (37.21)
ay
328
Глава 6. Свободная энергия
который, очевидно, эквивалентен также и следующему :
Л йру = ~2 ? (Ран + 11ац) (<3у* + UyJ) (Vay-\-Vya) =
= 2" “f" Uaft) (fiyv “f" UyJ) aay ¦ (37.22)
ay
Переобозначая ц, v соответственно через а, ц в (37.19) и подставляя это соотношение в (37.16), получаем
Л = V {Vali + 2’ «ay Uy4 Еа =
а у
= 2 Еа (дуц -)- Uy/J) vay = 2' Еа {рун ~Ь Uy/J) (сгау -f- ft>ay) . (37.23)
ау ау
Подставляя (37.22) и (37.23) в выражение (37.14) для изменения свободной энергии и приравнивая последнее совершенной работе Л W, выражаемой формулой (37.13), получаем
Say &ау Еи Ру СОау ¦
1
1 + 20 \Н
\2а-
ау \_ (xv
2 Wap + Uafi) (8yv -f- UyV) (—------------------------1
uv V OUfiV )
+ Ea2 (^ + ^) (^-)
<o„
+
9 F
(37.24)
Это соотношение должно выполняться тождественно для всех значений оаУ и шау, удовлетворяющих требованиям симметрии (37.8) и (37.9). Отсюда следует
Say= ~2 («Say + Sya) = 2 j 1 -f 2 О 7s (^“^ ^ali) (^У» Uv) ( QQ у j
I А» ***
+ 2 (^+«*0 У** + “-0 (-“) +Еа2 (^ + “**) (щ) +
+ Еу 2 (<V + Ua„) (¦] [, (37.25)
9 F
ЕуРа — Еа Ру =
1
1+20\%
9 F
Ey2iPa, + Ua,)\^-\\. (37.26)
§ 37. Феноменологическое рассмотрение свободной энергии решетки
329
Переобозначим индексы суммирования ц, v соответственно через v, /л ъо втором члене в фигурных скобках (37.25) и объединим этот член с первым членом в скобках; таким образом, можно переписать
(37.25) в виде
~ _ _________1____j -, f 9F 0F 'i
ау ~ 2 | 1 + 2U\ 54 (й<ч*+ Uali) (йуу+ UYv) [ дй^ ) +