Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
используя (36,15), легко найдем
00=1. (36.18)
Кроме того, из (36.13) и (36.17) следует, что детерминант матрицы 0 положителен. Следовательно, 0 — ортогональная матрица, действие которой на вектор (рассматриваемый как матричный столбец)
21 Макс Борн и Хуан Кунь
322
Глава 6. Свободная энергия
эквивалентно истинному вращению. Соотношение (36.17) показывает, таким образом, что деформация U' эквивалентна деформации U вместе с последующим поворотом.
При наиболее общей однородной деформации точки решетки смещаются следующим образом:
U«(fc)=^UaflXp(j[) + Ua(A). (36.19)
Рассматриваемая деформация может быть воспроизведена в два этапа, отвечающих соответственно первому и второму членам правой части (36.19). Деформация, производимая на первом этапе, принадлежит к уже рассмотренному выше типу; мы видели, что она приводит к новым базисным векторам а^, которые равны (36.5). Поскольку смещения и(/с) на втором этапе не изменяют базисных векторов, величины а^ остаются базисными векторами и после полной деформации (36.19); соответственно изменения метрических коэффициентов даются выражением (36.9) также и в общем случае. Из проведенного выше рассмотрения следует, что контравариантные компоненты №(к), №(к), Щк) вектора х(к) не изменяются в течение первого этапа деформации. Ввиду того, что смещения и (к) непосредственно дают изменения х(к) на втором этапе деформации, в течение которого а^ являются базисными векторами, мы имеем
иа (к) = АХа (к) ¦-= (к) й%. (36.20)
Рассматривая Л A'‘(ft) (ц = 1, 2, 3) и ua(ft) (a = 1, 2, 3) как элементы матричных столбцов Лк и Uk соответственно, можно записать (36.20) в матричных обозначениях
Uk=AAk. (36,21)
Умножая (36.21) на матрицу, обратную А, и используя (36.11), найдем
Лк = Лг1 Uk = [(1 + U) A]"1 Uk = А"1 (1 + U)-1 Uk. (36.22) Это соотношение можно переписать в виде
Ak=A~4l+U)-Hl + 0)-H\ + U)Uk =
= А-1 [(1 + О) (1 + U))-1 (1 + О) Uk =
= A-1[l+2U]~1(\ + 0)Uk. (36.23)
Поскольку А-1 полностью определяется известными базисными векторами недеформированной решетки, а U — параметрами внешней деформации йар, то нам необходимо знать лишь матричный столбец (1 + U)Uk, элементами которого являются
й„ (к) = иа (к) + 21 Щч Щ (ft) ¦ (36.24)
§ 37. Феноменологическое рассмотрение свободной энергии решетки
323
Если йа(к), равно как и йd3, задано, то изменения величин и ?ц(к) определяются соотношениями (36.9) и (36.23); тем самым оказывается полностью охарактеризованной структура деформированной решетки. При рассмотрении центральных сил в § 11 мы убедились, что йа(к) и йар являются адекватными параметрами деформации с точностью до второго порядка включительно, если они малы по сравнению с единицей. Настоящее рассмотрение показывает, что они являются подходящими параметрами деформации вне зависимости от величины деформации.
Совершенно ясно, почему для характеристики общей однородной деформации нельзя использовать просто векторы и (к) в сочетании с Urf. Если произвести деформацию двумя последовательными этапами, как выше, то две деформации с одними и теми же параметрами йар приводят, вообще говоря, к различно ориентированным (а в остальном тождественным) структурам. Тогда одни и те же последующие смещения и (к) приведут, очевидно, в этих двух случаях к различным структурам.
Ясно, что коэффициент объемного расширения | 1 + U | должен полностью определяться внешней деформацией. Явное выражение | 1 + U | через параметры деформации йар может быть получено следующим образом. Образуя детерминанты обеих частей тождества
(1 + 0)0 + 0) = 20 + 1, (36.25)
получаем
jl + O!|l+t/! = j20+l|. (36.26)
Поскольку детерминант матрицы равен детерминанту ее транспонированной матрицы, то (36.26) дает для коэффициента расширения следующее выражение:
120+1 j54, (36.27)
зависящее только от параметров йар.
§ 37. Феноменологическое рассмотрение свободной энергии решетки
При термодинамическом рассмотрении мы считаем, что однородная деформация полностью характеризуется одними лишь параметрами внешней деформации й^, тогда как внутренняя деформация автоматически определяется внутренними координатами, используемыми для описания теплового движения. Отметим противоположность этого положения статическому рассмотрению в § 11, в котором определяются упругие постоянные вблизи равновесной
конфигурации. При статическом рассмотрении необходимо явно
учитывать внутреннюю деформацию, вызываемую заданной внеш-
21*
324
Глава 6. Свободная энергия
ней деформацией, в то время как адекватное термодинамическое рассмотрение учитывает этот эффект неявно. Таким образом, выражение свободной энергии, которое мы будем рассматривать, соответствует энергии деформации (11.28) статического рассмотрения. Следовательно, внешнюю деформацию можно называть упругой деформацией, а параметры й^ — параметрами упругой деформации. Это приводит нашу терминологию в полное соответствие с общепринятой терминологией теории упругости, где задание упругой деформации подразумевает также наличие сопровождающей ее внутренней деформации, хотя последняя и не входит явно в теорию.
