Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
186
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
[ГЛ. V
для нас не играет никакой роли. Это обстоятельство будет проявляться в последующих формулах в том, что в них нигде не будет входить ?(0), а будут содержаться только разности энергетических уровней Еъ Е2 и т. д. и уровня Ферми F.
Помимо основного состояния с энергией Еъ захваченный электрон может находиться в различных возбужденных состояниях, уровни энергии которых будут расположены выше уровня Ег.
Эти уровни не изображены на рис. 5.7.
При заполнении уровня Ех электронами (например, за счет мелких доноров, электроны с которых «проваливаются» на уровень Ех) для электронов возникает новое основное квантовое состояние с энергией Е2, которое может быть занято вторым захваченным электроном (рис. 5.7, б). Подчеркнем, что уровня энергии Ео не существует, пока уровень Ег не занят первым электроном. В этом заключается характерная особенность энергетического спектра многозарядных центров («альтернативные» уровни), отличающая его от системы уровней, создаваемых несколькими простыми центрами разных типов. В последнем случае вся совокупность локальных уровней всегда существует полностью, независимо от степени заполнения отдельных уровней.
Ситуация, изображенная на рис. 5.7, б, возникает тогда, когда уровень Ферми F расположен выше уровня Еъ но ниже уровня Е2 (см. ниже). При заполнении электронами уровня ?2 возникают новые квантовые состояния с энергией Ея и т. д., которые могут быть либо заполненными, либо пустыми в зависимости от положения уровня Ферми (рис. 5.7, в, г).
§ 11. Распределение Гиббса
Для вычисления вероятности заполнения электронами многозарядных центров уже нельзя использовать функцию Ферми (3.1), а необходимо исходить из более общего принципа статистической физики — канонического распределения Гиббса для системы с переменным числом частиц. Рассмотрим изолированную систему, содержащую очень большое число одинаковых частиц N0 — const и обладающую определенной внутренней энергией Е0 = const. Выделим внутри этой системы малую ее часть, ограниченную по-
Рис. 5.7. Энергетическая диаграмма полупроводника с многозарядными центрами, создающими три локальных уровня энергии.
S и ]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА
187
стоянным объемом («тело»), находящуюся в термодинамическом равновесии с остальной частью системы («средой»). Среда и тело могут обмениваться частицами и изменять при этом свои энергии. Обозначим число частиц, перешедших в тело, через а изменение энергии тела, получившего j частиц и находящегося в определенном квантовом состоянии т, — через При таком переходе энергия среды станет (Е0 — Е^), а число частиц в ней будет (Аг0 — /), и поэтому энтропия среды изменится на некоторую величину ДТогда, согласно общим принципам статистической физики *), вероятность fu) того, что в теле будет /' частиц, а тело будет в т-м квантовом состоянии, есть
Здесь k — постоянная Больцмана, а А — нормировочный множитель.
Величина AS*'* связана с другими термодинамическими величинами. Так, например, рассматривая свободную энергию
и учитывая, что при термодинамическом равновесии температура везде (и в теле, и в среде) одинакова, имеем, что изменение свободной энергии среды равно
Учтем теперь, что свободная энергия при неизменных значениях переменных, определяющих состояние системы (в данном случае температуры и объема), есть функция аддитивная, т. е. пропорциональная числу частиц, содержащихся в системе. В соответствии с этим введем свободную энергию, рассчитанную на одну частицу:
Отметим, что мы умышленно выбрали для этой величины и уровня Ферми одно и то же обозначение, так как обе эти величины совпадают (см. § 12). Тогда в соотношении (11.2) мы имеем А= — jF, и поэтому изменение энтропии среды равно
После этого формула (11.1) дает
(11.1)
AaT<i>= —Em — Т A5m>.
(11.2)
(11.3)
(11.4)
*) См. [М9], § 35.
188 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК 1ГЛ. V
Это соотношение выражает распределение Гиббса с переменным числом частиц.
Применим теперь распределение Гиббса к интересующему нас случаю многозарядных центров. Тогда под телом следует подразумевать центр, под средой — кристалл, а /<?> будет давать вероятность того, что на центре имеется / электронов, причем энергия центра^ равна E\i\ Постоянная А определяется из условия нормировки вероятности на единицу
м
= (11.5)
/ = 0 т
где суммирование по т учитывает все возбужденные состояния центра, а М обозначает максимальное число электронов, которые может захватить центр. Это дает
(п.б)
