Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Вещество электроны тяжелые .дырки, легкие дырки, результирую> собственный электроны, S X результирую
mnd!,n о m%lm0 mpd/m0 щая, mpd/m0 полупроводник, mno>m 0 id * щая, mpo/m0
mid/m 0 Q. О.
3 3
« * о
1 s. <и е
S S х <
* о
ан*
^ 5
Германий 0,57 0,36 0,043 0,37 0,46 0,12 0,31 0,044 0,25
Кремний 1,08 0,53 0,14 0,59 0,80 0,26 0,49 0,16 0,38
*) По данным работы В. Lax, J. G. Mavroides, Phys, Rev. 100, 1950 (1955).
§ 8. Плотность состояний в квантующем магнитном поле
Формулы (2.3), (2.5) и (7.8) описывают плотности состояний носителей заряда, свободно движущихся в периодическом поле идеальной решетки. В достаточно сильных электрическом или магнитном полях энергетический спектр свободных электронов и дырок претерпевает серьезные изменения, что отражается и на плотности состояний. Вычислим плотность состояний электрона, движущегося в постоянном и однородном магнитном поле индукции S3. Для этой цели заметим, что по правилам статистической физики общее число свободных электронов N в объеме V дается выражением
= Т). (8.1)
х
Здесь X — совокупность квантовых чисел, от которых зависит энергия электрона Ек, g%—кратность вырождения энергетического уровня.
В рассматриваемой задаче (§ IV.5) роль квантовых чисел играют
2л
величины п, kz=-j-riz и проекция спина на ось Z, а кратность
180 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [гл. V
вырождения дается формулой (IV.5.18). Таким образом,
N = N+ + N., (8.2)
где N±— числа электронов с положительной и отрицательной проекциями спина:
2 ПЕ>’7)1 (8-3)
п, п3
а значения энергии Е± даются формулой (IV.5.12).
Расстояние между двумя соседними значениями k3 составляет. Akz — 2n/L. При L -*• со эта величина сколь угодно мала, что позволяет перейти от суммирования по nz к интегрированию по k~. Действительно,
2t(E±, т)=^2f(E±’ T)Ak^2Ln$f(E±’ (8-4)
Пользуясь тем, что Е+ есть четная функция k,, мы можем заменить здесь интеграл по kz в бесконечных пределах удвоенным интегралом от нуля до бесконечности. Тогда получаем
ОО
^ = z\dk^f{E±, Т). (8.5)
0 п
Очевидно, множитель при L3 — V есть концентрация электронов с данной проекцией спина п+.
Наконец, введем вместо kz переменную интегрирования Е±. Получим, опуская значок «±» у переменной интегрирования,
ОО
п±= $ N+ (E)f(E, Т) dE, (8.6)
Va ±
где
N± (Е) = W7 2 [Е ~ Е‘ ~ П<0‘ [п + 2) ^ Р^Г'* • (8-7)
п^О
Сумма берется здесь по всем значениям п, удовлетворяющим условию
Е — Ес — ft(oc (п + ]/2) ± Ss 0. (8.8)
Величины N,- (Е) и представляют собой искомые плотности состояний в магнитном поле, относящиеся к электронам с положительной и отрицательной проекцией спина. Сумма их
N(E) = N+(E) + N.(E)
есть аналог величины Nc (Е).
§ 9] КОНЦЕНТРАЦИИ НОСИТЕЛЕЙ НА ЛОКАЛЬНЫХ УРОВНЯХ 181
Формула (8.7) применима и к дыркам (если можно пренебречь эффектами, связанными с вырождением валентной зоны). Следует лишь заменить в ней Е — Ес на Ev — Ей изменить знак сос.
Из выражений (8.7) и (8.8) видно, что плотность состояний электронов в магнитном поле есть осциллирующая функция магнитной индукции. Она имеет острые максимумы при тех значениях магнитной индукции, при которых энергия (Е — Ес± $gSd) близка к одному из уровней Ландау Н(ос (п + 1/2). Это обстоятельство проявляется в том, что в вырожденном электронном газе (в металлах, полуметаллах и вырожденных полупроводниках) многие термодинамические, электрические и оптические величины, выражающиеся через плотность состояний, при определенных условиях осциллируют при изменении магнитной индукции. Так как в вырожденном электронном газе существенную роль играют только электроны на поверхности Ферми, то осцилляции свойств происходят при прохождении какого-либо из уровней Ландау через уровень Ферми. Впервые такие квантовые осцилляции были обнаружены в величине магнетосопротивления (эффект Шубникова—де Гааза) и магнитной восприимчивости (эффект де Гааза — ван Альфена) при низких температурах. Количественная .теория квантовых осцилляций довольно громоздка (ее можно найти в книге [М8]). Экспериментальное исследование квантовых осцилляций позволяет получить информацию о форме поверхностей Ферми.
